Espaces L1 et L2

[Anonyme]

Bonjour,

Voici la question : La fonction suivante est-elle dans L1(X) ?
f(x) = 1/Sqrt(x) X=[0,1]

dans la correction, on définie une fonction g=f si x appartient à ]0,1] et
g=1 si x=0

Puis on dit que g=f presque partout.
g est mesurable donc Integrale[f]=Integrale[1/Sqrt(x)]

Une foisceci fait, a-ton le droit de dire que f appartient à L1(X) ? Si oui
quelle propriété utilise t-on et pourquoi a-ton défnie une fonction g ? On
n'arrivait pas à montrer que f était mesurable ou que f était absolument
intégrable ?

Merci

[Anonyme]

Salut

> Voici la question : La fonction suivante est-elle dans L1(X) ?
> f(x) = 1/Sqrt(x) X=[0,1]
>
> dans la correction, on définie une fonction g=f si x appartient à ]0,1] et
> g=1 si x=0

Ce qui est proprement pareil que de définir g = +oo en 0 (la th. de la
mesure se fait aussi bien dans R barre, et en plus, on se moque des
ensembles de mesure nulle).

>
> Puis on dit que g=f presque partout.
> g est mesurable donc Integrale[f]=Integrale[1/Sqrt(x)]
>
> Une foisceci fait, a-ton le droit de dire que f appartient à L1(X) ?

Non, tu peux quoiqu'il arrive parler d' "intégrale" de f parce que f est
positive. Pour que f soit dans L_1 il faut par définition que int(f) quelle propriété utilise t-on et pourquoi a-ton défnie une fonction g ?[/color]

On ne peut rien conclure pour l'instant; en fait la définition de g est
inutile, ta fonction f est bien définit sur [0,1] et vaut +oo en 0. Mais on
s'en moque on peut prendre g(0)=1 si ça fait plaisir.

On
> n'arrivait pas à montrer que f était mesurable ou que f était absolument
> intégrable ?
>

Mesurable c'est évident (égale presque partout à une fonction continue, donc
mesurable, pour la tribu de Lebesgue qui est complète).

Maintenant pour intégrable la réponse est oui car une primitive de 1/sqrt(x)
est 2sqrt(x) et donc la fonction est Riemann-intégrable sur ]0,1], et
positive, donc Lebesgue-intégrable aussi (utilise le théorème de convergence
monotone).