Espaces vectoriels

[Anonyme]

Bonjour à tous !!

J'ai deux petites questions que je n'arrivent pas à résoudre.
Si vous pouvez m'aider, n'hesitez pas, je vous en remercie d'avance:

1) Si n est un entier > ou = à 1 et p un nombre premier, il me faut
dénombrer GLn(Z/pZ)

2) Soit E un ev de dimension finie et u appartenent à L(E). Montrer qu'il
existe v appartenant à GL(E) tel que u o v soit un projecteur.

Merci et bon dimanche à tous

[Anonyme]

> 2) Soit E un ev de dimension finie et u appartenent à L(E). Montrer qu'il
> existe v appartenant à GL(E) tel que u o v soit un projecteur.
>

Salut,

On décompose E en sommes directes: Ker(u)+H (avec (k_1,...,k_p) base de
Ker(u) et (h_1,...,h_q) base de H) d'une part, et d'autre part: Im(u)+J
(avec (i_1,...,i_q) base de Im(u) tq u(h_t)=i_t, et (j_1,...,j_p) base de
J).
Prendre alors v endomorphisme tel que v(i_t)=h_t et v(j_t')=k_t'.
uov est projecteur sur Im(u) parallèlement à J.

--
Julien Santini

[Anonyme]

"Aurélia" a écrit dans le message de
news:bl62g2$cob$1@news-reader2.wanadoo.fr...
> Bonjour à tous !!
>
> J'ai deux petites questions que je n'arrivent pas à résoudre.
> Si vous pouvez m'aider, n'hesitez pas, je vous en remercie d'avance:
>
> 1) Si n est un entier > ou = à 1 et p un nombre premier, il me faut
> dénombrer GLn(Z/pZ)

Un élément de GLn(Z/pZ) est une matrice nxn inversible sur Z/pZ.
Il peut être considéré comme une matrice de passage, c'est à dire que
l'image de la base canonique est une base de (Z/pZ)^n.
Les vecteurs colonnes forment donc une base de (Z/pZ)^n

On peut donc choisir le 1er vecteur de: (p^n - 1) façons différentes (0 est
interdit)
Le 2ème vecteur peut être quelconque sauf colinéaire au 1er soit: (p^n - p)
possibilités
Le 3ième pareillement: (p^n - p^2), etc... le dernier (p^n - p^{n-1})
ce qui donne:
(p^n-1)(p^n-p)(p^n-p^2) ... (p^n-p^{n-1}) éléments différents.
Ensuite il est intéressant d'en extraire la puissance de p et la puissance
de (p-1), mais c'est facile à déterminer.

Alain

[Anonyme]

Aurélia a écrit
> 1) Si n est un entier > ou = à 1 et p un nombre premier,
> il me faut dénombrer GLn(Z/pZ)

Si p est premier alors Card Z/pZ = p.
Une bijection de Z/pZ est une permutation donc
Card[GLn(Z/pZ)] = p!

> 2) Soit E un ev de dimension finie et u appartenent à L(E).
> Montrer qu'il existe v appartenant à GL(E) tel que u o v
> soit un projecteur.

Soit I un supplémentaire de Ker(u)
et K un supplémentaire de Im(u).

D'après le th du rang :
dim I = dim Im(u)
dim K = dim Ker(u)

u induit un isomorphisme de I dans Im(u). Soit
v_1 : Im(u) --> I l'isomorphisme réciproque.
On a : u o v_1 = Id

Soit par ailleurs :
v_2 : K --> Ker(u) un isomorphisme quelconque
On a : u o v_2 = 0

Tout vecteur x se décompose de manière unique
en un vecteur de Im(u) et un vecteur de K :
x = x_1 + x_2.

On peut donc définir l'application v de E dans E
telle que v(x) = v_1(x_1) + v_2(x_2)

On montre que v est un automorphisme de E
(il suffit de montrer que v est injective puis
surjective).

Pour tout x on a :
u o v(x) = u o v_1(x_1) + u o v_2(x_2)
= x_1

Donc u o v est la projection sur Im(u)
parallèlement à Ker(u).

--
Amicalement, Pierre
chez marcelle.paquier@mageos.com

[Anonyme]

Pardon :

Donc u o v est la projection sur Im(u)
parallèlement à K