Espace topologique connexe

[Anonyme]

Bonjour.

J'ai un exercice qui porte sur l'espace X = lN\{0,1} avec la topologie
dont une base est l'ensemble des U_n = {x \in X ; x | n}.
(il s'agit en fait d'un cas particulier de la topologie gauche avec la
relation d'ordre partielle "divise" sur X).

Je bloque sur la question qui consiste à prouver que X est connexe.
La difficulté est que je ne connais pas tous les ouverts de X... enfin
j'ai remarqué que tout ouvert O s'écrit comme l'union des U_x pour x
dans O, mais je n'ai rien su en tirer.
Si quelqu'un a une suggestion ?
Merci.

[Anonyme]

> J'ai un exercice qui porte sur l'espace X = lN\{0,1} avec la topologie
> dont une base est l'ensemble des U_n = {x \in X ; x | n}.
> (il s'agit en fait d'un cas particulier de la topologie gauche avec la
> relation d'ordre partielle "divise" sur X).
>
> Je bloque sur la question qui consiste à prouver que X est connexe.
>

Soient A et B deux ouverts disjoints de X tels que A U B = X. On écrit A = U
U_a_k et B = U U_b_m, avec pgcd(a_k,b_m) = 1 pour tout couple (m,n), et où
les réunions sont dénombrables. Mais alors A ou B est vide, cqfd (car sinon
on peut supposer que {a_k; k in N} contient tous les entiers pairs, et B est
vide (car pour tout entier x impair dans B, 2*x est dans A et gcd(x,2x)1).

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Julien Santini

[Anonyme]

Julien Santini avait écrit le 28/05/2005 :
> Soient A et B deux ouverts disjoints de X tels que A U B = X. On écrit A = U
> U_a_k et B = U U_b_m, avec pgcd(a_k,b_m) = 1 pour tout couple (m,n), et où
> les réunions sont dénombrables. Mais alors A ou B est vide, cqfd (car sinon
> on peut supposer que {a_k; k in N} contient tous les entiers pairs, et B est
> vide (car pour tout entier x impair dans B, 2*x est dans A et gcd(x,2x)1).

Impeccable, merci.

Et peut-on trouver une démonstration dans le cas général de la
topologie gauche ou droite ?
Ou alors, un ensemble ordonné muni de cette toplogie n'est pas connexe
en général ?

[Anonyme]

> Et peut-on trouver une démonstration dans le cas général de la topologie
> gauche ou droite ?
> Ou alors, un ensemble ordonné muni de cette toplogie n'est pas connexe en
> général ?
>

N muni de la topologie de l'ordre n'est pas connexe.
R muni de la topologie de l'ordre (c'est-à-dire de la topologie euclidienne)
est connexe.
Pour les topologies gauche et droite usuelles (celles engendrées par les U_a
= {x in X; x a}), où >= est une relation
d'ordre *total*), on n'a jamais connexité dès que l'ensemble est de cardinal
>1.
En revanche, note que ton exemple traite d'une relation d'ordre partiel où
les ouverts sont engendrés par les U_a = {x in X; x <= a} (note qu'en
général l'inégalité large est nécessaire dans le cas d'un ordre partiel pour
être sûr d'avoir une topologie). Dans ce cas on peut ne pas avoir connexité,
prends par exemple {1,2} avec pour relation d'ordre: 1<=1, 2<=2.

--
Julien Santini