équations différentielles

[Anonyme]

Est-ce que quelqu'un peux m'aider à résoudre la suivante équation
différentielle?
cos(2x)yy'=tan(y^2)
C'est un exercice qui a été posé à un examen d'analyse mathématique à ma
fac en italie et que j'ai des problèmes à résoudre.
merci d'avance pour votre aide,
Leo


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[Anonyme]

Leonetto Dimacoff a écrit :

> cos(2x)yy'=tan(y^2)

En posant u = y² l'équation s'écrit
u' cox(2x) = 2 tan(u)

En supposant que sin(u) ne s'annulle pas

u' cos(u)/sin(u) = 2/cos(2x)]

C'est à dire

[sin(u)]' / sin(u) = 2/cos(2x)

D'où
ln(sin(u)) = ln[tg(x/2 + pi/4)] + C

Comme ln est monotone
sin(u) = D [tg(x/2 + pi/4)]

Bon, je ne suis pas sûr ...

Pierre

[Anonyme]

D'ailleurs c'est faux. On a plutôt
ln(sin(u)) = ln[tg(x + pi/4)] + C

donc
sin(u) = D [tg(x + pi/4)] = sin(y²)

Pierre

[Anonyme]

"Leonetto Dimacoff" a écrit dans le message de
news:dd867313a834923e991b89cb3de86b15.70357@mygate.mailgate.org...
> Est-ce que quelqu'un peux m'aider à résoudre la suivante équation
> différentielle?
> cos(2x)yy'=tan(y^2)
> C'est un exercice qui a été posé à un examen d'analyse mathématique à ma
> fac en italie et que j'ai des problèmes à résoudre.

En posant z = y^2, cela revient à :
dz/2/tan(z) = dx/cos(2x)
comme cos(z) est la dérivée de sin(z), on a facilement la primitive du 1er
membre.
Pour le second membre, il faut exprimer cos(2x) en fonction de la tangente
de l'angle moitié :
cos(2x) = (1 - tan(x)^2)/(1 + tan(x)^2)
prendre t = tan(x) comme nouvelle variable, avec :
dt = (1 + t^2)*dx
et le second membre devient :
dt/(1 - t^2)
d'où une intégration donnant z(t) puis y(x).
Cela vous suffit-il pour arriver au bout ?

A.J.

> merci d'avance pour votre aide,
> Leo
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