Equations différentielles (mpsi)

[Anonyme]

Bonjour,

je cherche à résoudre l'équation différentielle suivante :
f''(x) +f(-x) = e^x.

J'ai trouvé une solution particulière (f : x -> (x+1)/2*ch(x)), et j'ai
deux solutions de l'équation homogène associée (les fonctions cos et
sinh). Cependant, puis je être sur que l'espace vectoriel des solutions
de mon équation homogène associé est de dimension 2 ?
Existe-t-il un théorème qui donne la dimension de l'espace vectoriel des
solutions d'une équadiff homogène ? Peut-être est ce le théorème de
Cauchy Lipschitz mais je n'arrive pas à en trouver l'énoncé complet.


Merci de votre aide

--
albert

[Anonyme]

albert junior wrote:
> Bonjour,
>
> je cherche à résoudre l'équation différentielle suivante :
> f''(x) +f(-x) = e^x.
>
> J'ai trouvé une solution particulière (f : x -> (x+1)/2*ch(x)), et j'ai
> deux solutions de l'équation homogène associée (les fonctions cos et
> sinh). Cependant, puis je être sur que l'espace vectoriel des solutions
> de mon équation homogène associé est de dimension 2 ?
> Existe-t-il un théorème qui donne la dimension de l'espace vectoriel des
> solutions d'une équadiff homogène ? Peut-être est ce le théorème de
> Cauchy Lipschitz mais je n'arrive pas à en trouver l'énoncé complet.

En fait, je ne sais pas si on peut parler d'équation homogène dans ce
cas, mais de toute façon cette équation implique f^(4)(x) = f(x), et si
je montre que l'ev des solutions de cette équadiff est de dimension 4 je
pourrai également conclure.

[Anonyme]

Le Fri, 20 May 2005 19:12:45 +0200
albert junior a écrit
>albert junior wrote:[color=green]
>> Bonjour,
>>
>> je cherche à résoudre l'équation différentielle suivante :
>> f''(x) +f(-x) = e^x.
>>
>> J'ai trouvé une solution particulière (f : x -> (x+1)/2*ch(x)), et j'ai
>> deux solutions de l'équation homogène associée (les fonctions cos et
>> sinh). Cependant, puis je être sur que l'espace vectoriel des solutions
>> de mon équation homogène associé est de dimension 2 ?
>> Existe-t-il un théorème qui donne la dimension de l'espace vectoriel des
>> solutions d'une équadiff homogène ? Peut-être est ce le théorème de
>> Cauchy Lipschitz mais je n'arrive pas à en trouver l'énoncé complet.
>
>En fait, je ne sais pas si on peut parler d'équation homogène dans ce
>cas, mais de toute façon cette équation implique f^(4)(x) = f(x), et si
>je montre que l'ev des solutions de cette équadiff est de dimension 4 je
>pourrai également conclure.[/color]

Tu peux aussi poser

g(x) = f(x) + f(-x)
g"(x) = f"(x) + f"(-x)

h(x) = f(x) - f(-x)
h"(x) = f"(x) - f"(-x)

Ce qui doit donner f(x) = ( g(x)+h(x) ) / 2

Et sans passer par la dérivée quatrième tu as 2 équations plus simples
à résoudre, à savoir :

g" + g = 2 ch
h" - h = 2 sh

g(x) = ch(x) + a sin(x) + b cos(x)
h(x) = x ch(x) + c sh(x) + d ch(x)


Soit un espace solution effectivement de dimension 4
(rem, a,b,c,d étant arbitraires, j'ai pas reporté a/2, b/2, etc...)

f(x) = ch(x) * (x+1)/2 + a sin(x) + b cos(x) + c sh(x) + d ch(x)

REM : ton équation n'est pas de dimension 2, car déjà elle n'est pas
linéaire, à cause du f(-x).



--
zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volonté humaine...

[Anonyme]

zwim wrote:
[color=green][color=darkred]
>>>f''(x) +f(-x) = e^x.[/color][/color]

> Tu peux aussi poser
>
> g(x) = f(x) + f(-x)
> g"(x) = f"(x) + f"(-x)
>
> h(x) = f(x) - f(-x)
> h"(x) = f"(x) - f"(-x)
>
> Ce qui doit donner f(x) = ( g(x)+h(x) ) / 2
>
> Et sans passer par la dérivée quatrième tu as 2 équations plus simples
> à résoudre, à savoir :
>
> g" + g = 2 ch
> h" - h = 2 sh
>
> g(x) = ch(x) + a sin(x) + b cos(x)
> h(x) = x ch(x) + c sh(x) + d ch(x)
>
>
> Soit un espace solution effectivement de dimension 4
> (rem, a,b,c,d étant arbitraires, j'ai pas reporté a/2, b/2, etc...)
>
> f(x) = ch(x) * (x+1)/2 + a sin(x) + b cos(x) + c sh(x) + d ch(x)
>
> REM : ton équation n'est pas de dimension 2, car déjà elle n'est pas
> linéaire, à cause du f(-x).

Et on doit avoir a = d = 0 en reportant dans l'équation.

Merci de cette réponse, qui répond parfaitement à mes questions.


--
albert

[Anonyme]

On Fri, 20 May 2005 22:07:16 +0200, zwim wrote:

>Le Fri, 20 May 2005 19:12:45 +0200
>albert junior a écrit[color=green]
>>albert junior wrote:[color=darkred]
>>> Bonjour,
>>>
>>> je cherche à résoudre l'équation différentielle suivante :
>>> f''(x) +f(-x) = e^x.
>>>
>>> J'ai trouvé une solution particulière (f : x -> (x+1)/2*ch(x)), et j'ai
>>> deux solutions de l'équation homogène associée (les fonctions cos et
>>> sinh). Cependant, puis je être sur que l'espace vectoriel des solutions
>>> de mon équation homogène associé est de dimension 2 ?
>>> Existe-t-il un théorème qui donne la dimension de l'espace vectoriel des
>>> solutions d'une équadiff homogène ? Peut-être est ce le théorème de
>>> Cauchy Lipschitz mais je n'arrive pas à en trouver l'énoncé complet.
>>
>>En fait, je ne sais pas si on peut parler d'équation homogène dans ce
>>cas, mais de toute façon cette équation implique f^(4)(x) = f(x), et si
>>je montre que l'ev des solutions de cette équadiff est de dimension 4 je
>>pourrai également conclure.[/color]
>
>Tu peux aussi poser
>
>g(x) = f(x) + f(-x)
>g"(x) = f"(x) + f"(-x)
>
>h(x) = f(x) - f(-x)
>h"(x) = f"(x) - f"(-x)
>
>Ce qui doit donner f(x) = ( g(x)+h(x) ) / 2
>
>Et sans passer par la dérivée quatrième tu as 2 équations plus simples
>à résoudre, à savoir :
>
>g" + g = 2 ch
>h" - h = 2 sh
>
>g(x) = ch(x) + a sin(x) + b cos(x)
>h(x) = x ch(x) + c sh(x) + d ch(x)
>
>
>Soit un espace solution effectivement de dimension 4
>(rem, a,b,c,d étant arbitraires, j'ai pas reporté a/2, b/2, etc...)
>
>f(x) = ch(x) * (x+1)/2 + a sin(x) + b cos(x) + c sh(x) + d ch(x)[/color]
je ne crois pas
il faut que a et d soient nuls
car sinx et chx ne sont pas sol de l'équation sans second membre
en fait les sol de l'équation homo
sont dans un ev de dim 4 : a sin(x) + b cos(x) + c sh(x) + d ch(x)
(ce qui résulte aussi de f^(4)(x)-f(x)=0)
et en reportant dans f"(x)+f(-x)=0 les sol sont en fait uniquement
b cos(x) + c sh(x)
>REM : ton équation n'est pas de dimension 2, car déjà elle n'est pas
>linéaire, à cause du f(-x).
>
>
>
>--