Equations Differentielle problemes

[Anonyme]

Bonjour,
je n'arrive pas a resoudre plusieurs equa dif :

Exo1 : xy'+y = 1 / (x²y²)
j'ai essayé de poser t=y/x mais je n'arrive a rien de bien concluant.

Exo 2 :
j'ai un systeme differentiel

(1+t²) x' = tx + y (1)
(1+t²)y' = -x + ty (2)

On me conseil d'eliminer les "y" dans les deux equations en faisant la
derivee de (1)
Je l'ai fait => (1)' = 2tx' + (1+t²)x'' = x + tx' +y'
Il faut ensuite injecter ce resultat dans (2)... et la plus rien.


Exo 3:
un autre systeme

dx/dt = 3x+y+3t
dy/dt = -4x-y+6t-3
dz/dt = 4x- 8y+2z

Je sais pas du tout comment faire..

Merci pour votre aide qui je l'espere m'aidera à resoudre ces problemes.

@+

[Anonyme]

Bonjour à decxc1 qui nous a écrit :
> Bonjour,
> je n'arrive pas a resoudre plusieurs equa dif :
>
> Exo 2 :
> j'ai un systeme differentiel
>
> (1+t²) x' = tx + y (1)
> (1+t²)y' = -x + ty (2)
>
> On me conseil d'eliminer les "y" dans les deux equations en faisant la
> derivee de (1)
> Je l'ai fait => (1)' = 2tx' + (1+t²)x'' = x + tx' +y'
> Il faut ensuite injecter ce resultat dans (2)... et la plus rien.

on a donc : y = (1+t²) x' - tx (1)
et : y' = 2tx' + (1+t²)x'' - x + tx'

on injecte dans (2), tout se simplifie car (1+t²) > 0 et il reste :

x'' = 0 => x = at+b => y = (1+t²)a - t(at+b) = a - tb

--
Cordialement, Thierry

[Anonyme]

Bonjour à Cenékemoi qui nous a écrit :
> et : y' = 2tx' + (1+t²)x'' - x + tx'

correction :
y' = 2tx' + (1+t²)x'' - x - tx'

--
Cordialement, Thierry

[Anonyme]

Dans le message :3f7ab8f3$0$27015$626a54ce@news.free.fr,
decxc1 a écrit :
> Bonjour,

Bonjour

> je n'arrive pas a resoudre plusieurs equa dif :
>
> Exo1 : xy'+y = 1 / (x²y²)
> j'ai essayé de poser t=y/x mais je n'arrive a rien de bien concluant.

xy'+y=(xy)'
le problème est donc, en posant z(x)=xy
z'z²=1
soit 3z'z²=3
soit (z^3)'=3
d'où z, d'où y


> Exo 3:
> un autre systeme
>
> dx/dt = 3x+y+3t
> dy/dt = -4x-y+6t-3
> dz/dt = 4x- 8y+2z
>
> Je sais pas du tout comment faire..

La théorie générale: résoudre d'abord le système homogène, en
diagonalisant pour faire un changement de variables sympathique.

Ici, on peut y aller à la main:
On considère les deux premières, où z n'apparait pas.

Par combinaison :
2dx/dt + dy/dt = 2x + y -3
soit d(2x+y)/dt=(2x+y) -3
solution 2x+y = A exp(t) +3 (solution générale de l'eq. homogène +
solution particulière)

La 1ere équation redonne:
dx/dt = x + (2x+y) + 3t = x + A exp(t) + 3t + 3
résoudre en x, en déduire y = (2x+y) - 2x
puis utiliser la troisième équation pour trouver z


(tout ça sauf erreur)
--
Cordialement
Bruno

[Anonyme]

Merci a vous, j'essaye et je reviens.... a suivre.

[Anonyme]

Je ne trouve pas pareil :

> correction :
> y' = 2tx' + (1+t²)x'' - x - tx'

y' = 2tx' -(1+t²)x'' - x - tx'
et apres en reinjectant dans (2) j'ai x''=x/(1+t²) et non x''=0!!
pourtant tu as raison !! j'ai les solutions de l'exo.
je comprends pas...






"Cenékemoi" a écrit dans le message de news:
3f7ad323$0$17187$afc38c87@news.easynet.fr...
> Bonjour à Cenékemoi qui nous a écrit :[color=green]
> > et : y' = 2tx' + (1+t²)x'' - x + tx'
>
> correction :
> y' = 2tx' + (1+t²)x'' - x - tx'
>
> --
> Cordialement, Thierry
>[/color]

[Anonyme]

> > Exo1 : xy'+y = 1 / (x²y²)[color=green]
> > j'ai essayé de poser t=y/x mais je n'arrive a rien de bien concluant.
>
> xy'+y=(xy)'
> le problème est donc, en posant z(x)=xy
> z'z²=1
> soit 3z'z²=3
> soit (z^3)'=3
> d'où z, d'où y[/color]

comment passe tu de 3z'z²=3 à (z^3)'=3 ?

Par combinaison :
> 2dx/dt + dy/dt = 2x + y -3
> soit d(2x+y)/dt=(2x+y) -3
> solution 2x+y = A exp(t) +3 (solution générale de l'eq. homogène +
> solution particulière)

je trouve par combinaison 2dx/dt + dy/dt = 2x + y +12t -3 !!



"bc92" a écrit dans le message de news:
3f7ae639$0$13298$626a54ce@news.free.fr...
> Dans le message :3f7ab8f3$0$27015$626a54ce@news.free.fr,
> decxc1 a écrit :[color=green]
> > Bonjour,
>
> Bonjour
>
> > je n'arrive pas a resoudre plusieurs equa dif :
> >
> > Exo1 : xy'+y = 1 / (x²y²)
> > j'ai essayé de poser t=y/x mais je n'arrive a rien de bien concluant.
>
> xy'+y=(xy)'
> le problème est donc, en posant z(x)=xy
> z'z²=1
> soit 3z'z²=3
> soit (z^3)'=3
> d'où z, d'où y
>
>
> > Exo 3:
> > un autre systeme
> >
> > dx/dt = 3x+y+3t
> > dy/dt = -4x-y+6t-3
> > dz/dt = 4x- 8y+2z
> >
> > Je sais pas du tout comment faire..
>
> La théorie générale: résoudre d'abord le système homogène, en
> diagonalisant pour faire un changement de variables sympathique.
>
> Ici, on peut y aller à la main:
> On considère les deux premières, où z n'apparait pas.
>
> Par combinaison :
> 2dx/dt + dy/dt = 2x + y -3
> soit d(2x+y)/dt=(2x+y) -3
> solution 2x+y = A exp(t) +3 (solution générale de l'eq. homogène +
> solution particulière)
>
> La 1ere équation redonne:
> dx/dt = x + (2x+y) + 3t = x + A exp(t) + 3t + 3
> résoudre en x, en déduire y = (2x+y) - 2x
> puis utiliser la troisième équation pour trouver z
>
>
> (tout ça sauf erreur)
> --
> Cordialement
> Bruno
>[/color]

[Anonyme]

Bonjour

Dans le message :3f7b1d8a$0$27017$626a54ce@news.free.fr,
decxc1 a écrit :
>
> comment passe tu de 3z'z²=3 à (z^3)'=3 ?

la dérivée de z^3 est bien 3z² z'
(Règle (fog)'=(f'og) g' )

> Par combinaison :[color=green]
>> 2dx/dt + dy/dt = 2x + y -3
>> soit d(2x+y)/dt=(2x+y) -3
>> solution 2x+y = A exp(t) +3 (solution générale de l'eq. homogène +
>> solution particulière)
>
> je trouve par combinaison 2dx/dt + dy/dt = 2x + y +12t -3 !![/color]

Toutafé, je m'avais trompé. Ca ne change pas la marche à suivre.

--
Cordialement
Bruno

[Anonyme]

> > comment passe tu de 3z'z²=3 à (z^3)'=3 ?
>
> la dérivée de z^3 est bien 3z² z'
> (Règle (fog)'=(f'og) g' )

OK

[color=green]
> > je trouve par combinaison 2dx/dt + dy/dt = 2x + y +12t -3 !!
>
> Toutafé, je m'avais trompé. Ca ne change pas la marche à suivre.[/color]

je trouve bien la premiere expression : Aexp(t)
seulement je ne trouve pas la suite de l'expression
je sais que la solution est de la forme : g(t)=h(t)*exp(t)
d'ou
g'(t)=h'(t)*exp(t) + h(x)*exp(t)

on remet ca dans l'expression du=u+12t-3 avec u=2x+y

=> h'(t)*exp(t)=12t-3 =>h'(t) = (12t-3)*exp(-t)
C'est ca ? il faut ensuite integrer h'(t) pour avoir h(t) puis le * par
exp(t) afin d'obtenir g(t) qui est la solution. Je me trompe ?

[Anonyme]

Dans le message :3f7b260d$0$27037$626a54ce@news.free.fr,
decxc1 a écrit :
>[color=green][color=darkred]
>>> je trouve par combinaison 2dx/dt + dy/dt = 2x + y +12t -3 !!
>>
>> Toutafé, je m'avais trompé. Ca ne change pas la marche à suivre.[/color]
>
> je trouve bien la premiere expression : Aexp(t)
> seulement je ne trouve pas la suite de l'expression
> je sais que la solution est de la forme : g(t)=h(t)*exp(t)
> d'ou
> g'(t)=h'(t)*exp(t) + h(x)*exp(t)
>
> on remet ca dans l'expression du=u+12t-3 avec u=2x+y
>
> => h'(t)*exp(t)=12t-3 =>h'(t) = (12t-3)*exp(-t)
> C'est ca ? il faut ensuite integrer h'(t) pour avoir h(t) puis le *
> par exp(t) afin d'obtenir g(t) qui est la solution. Je me trompe ?[/color]

Re-
Oui c'est la méthode de variation de la constante, qui te conduit ici à
intégrer (12t-3)exp(-t).
Tu vas trouver (-12t-9)exp(-t) +constante

Mais tu peux aussi pour une équa dif linéaire chercher une solution
particulière.
Ici tu "te dis" que la forme at+b doit marcher et par identification tu
trouves que -12t-9 est une solution particulière de u'=u+12t-3.
La solution générale de u'=u+12t-3 est alors la somme de la solution
générale de l'équation homogène u'=u, et d'une solution particulière
telle que -12t-9

Les deux méthodes donnent la même chose, à savoir :
2x+y = A exp(t) -12t -9

--
Cordialement
Bruno

[Anonyme]

Merci pour l'aide.




"bc92" a écrit dans le message de news:
3f7b2a9c$0$2776$626a54ce@news.free.fr...
> Dans le message :3f7b260d$0$27037$626a54ce@news.free.fr,
> decxc1 a écrit :[color=green]
> >[color=darkred]
> >>> je trouve par combinaison 2dx/dt + dy/dt = 2x + y +12t -3 !!
> >>
> >> Toutafé, je m'avais trompé. Ca ne change pas la marche à suivre.
> >
> > je trouve bien la premiere expression : Aexp(t)
> > seulement je ne trouve pas la suite de l'expression
> > je sais que la solution est de la forme : g(t)=h(t)*exp(t)
> > d'ou
> > g'(t)=h'(t)*exp(t) + h(x)*exp(t)
> >
> > on remet ca dans l'expression du=u+12t-3 avec u=2x+y
> >
> > => h'(t)*exp(t)=12t-3 =>h'(t) = (12t-3)*exp(-t)
> > C'est ca ? il faut ensuite integrer h'(t) pour avoir h(t) puis le *
> > par exp(t) afin d'obtenir g(t) qui est la solution. Je me trompe ?[/color]
>
> Re-
> Oui c'est la méthode de variation de la constante, qui te conduit ici à
> intégrer (12t-3)exp(-t).
> Tu vas trouver (-12t-9)exp(-t) +constante
>
> Mais tu peux aussi pour une équa dif linéaire chercher une solution
> particulière.
> Ici tu "te dis" que la forme at+b doit marcher et par identification tu
> trouves que -12t-9 est une solution particulière de u'=u+12t-3.
> La solution générale de u'=u+12t-3 est alors la somme de la solution
> générale de l'équation homogène u'=u, et d'une solution particulière
> telle que -12t-9
>
> Les deux méthodes donnent la même chose, à savoir :
> 2x+y = A exp(t) -12t -9
>
> --
> Cordialement
> Bruno
>[/color]

[Anonyme]

Bonjour à decxc1 qui nous a écrit :
> Je ne trouve pas pareil :
>[color=green]
>> correction :
>> y' = 2tx' + (1+t²)x'' - x - tx'
>
> y' = 2tx' -(1+t²)x'' - x - tx'
> et apres en reinjectant dans (2) j'ai x''=x/(1+t²) et non x''=0!!
> pourtant tu as raison !! j'ai les solutions de l'exo.
> je comprends pas...[/color]

Pourtant, tu l'a écrit toi-même :

....
Je l'ai fait => (1)' = 2tx' + (1+t²)x'' = x + tx' +y'
....


D'où :
y' = 2tx' + (1+t²)x'' - x - tx'

--
Cordialement, Thierry

[Anonyme]

(1) (1+t²)x' = tx+y
(2) (1+t²)y' = - x + ty

en derivant (1)
> D'où :
> y' = 2tx' + (1+t²)x'' - x - tx'
>
Ok, je trouve bien ca, il faut donc remplacer y' et y dans (2)
avec y = (1+t²)x' - tx

je trouve : (1+t²)x'' + (1+t²)t²x'' = 0
d'ou x'' (1+2t²+ t^4) = 0

Es tu d'accord ?

[Anonyme]

Bonjour à decxc1 qui nous a écrit :
> (1) (1+t²)x' = tx+y
> (2) (1+t²)y' = - x + ty
>
> en derivant (1)[color=green]
>> D'où :
>> y' = 2tx' + (1+t²)x'' - x - tx'
>>
> Ok, je trouve bien ca, il faut donc remplacer y' et y dans (2)
> avec y = (1+t²)x' - tx
>
> je trouve : (1+t²)x'' + (1+t²)t²x'' = 0
> d'ou x'' (1+2t²+ t^4) = 0
>
> Es tu d'accord ?[/color]

oui, toutafé...

la suite : 1+2t²+ t^4 = (1+t²)² > 0

donc : x'' = 0, CQFD

--
Cordialement, Thierry

[Anonyme]

Nous sommes d'accord.
Encore Merci

"Cenékemoi" a écrit dans le message de news:
3f7d3ab0$0$6971$afc38c87@news.easynet.fr...
> Bonjour à decxc1 qui nous a écrit :[color=green]
> > (1) (1+t²)x' = tx+y
> > (2) (1+t²)y' = - x + ty
> >
> > en derivant (1)[color=darkred]
> >> D'où :
> >> y' = 2tx' + (1+t²)x'' - x - tx'
> >>
> > Ok, je trouve bien ca, il faut donc remplacer y' et y dans (2)
> > avec y = (1+t²)x' - tx
> >
> > je trouve : (1+t²)x'' + (1+t²)t²x'' = 0
> > d'ou x'' (1+2t²+ t^4) = 0
> >
> > Es tu d'accord ?[/color]
>
> oui, toutafé...
>
> la suite : 1+2t²+ t^4 = (1+t²)² > 0
>
> donc : x'' = 0, CQFD
>
> --
> Cordialement, Thierry
>[/color]