Equation

[Anonyme]

Bonjourj'ai un exercice d'equation fonctionnelle que je ne parviens pas à
résoudre merci de m'aider



Determiner les fonctions f : R ->R telles que f(x^2) = f(x)^2 et f(x + 1) =
f(x) + 1 pour tout reel

x. Attention, il n'y a aucune hypothese de regularite sur f.

[Anonyme]

> Bonjourj'ai un exercice d'equation fonctionnelle que je ne parviens pas à
> résoudre merci de m'aider
>
>
>
> Determiner les fonctions f : R ->R telles que f(x^2) = f(x)^2 et f(x + 1)
> = f(x) + 1 pour tout reel
>
> x. Attention, il n'y a aucune hypothese de regularite sur f.
>
>
1) tu montres que f est périodique de période 1 et que si elle est
déterminée sur [0,1[, elle l'est sur R.
2) tu montres que sur ]0,1[, il existe pour tout x un unique couple (x0, z)
de ]1/4, 1/2[ X Z tel que x = x0^(2^z).
3) tu en déduis que la détermination des valeurs en [0] U ]1/4, 1/2[
détermine totalement f.
4) tu as fini.

[Anonyme]

je ne vois pas commment montrer que f est périodique de prériode 1 puisque
par définition j'ai

f(x+1)= f(x) +1 différent de f(x)
"Patrick Coilland" a écrit dans le message de news:
41992abc$0$6451$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
>
[color=green]
>> Bonjourj'ai un exercice d'equation fonctionnelle que je ne parviens pas à
>> résoudre merci de m'aider
>>
>>
>>
>> Determiner les fonctions f : R ->R telles que f(x^2) = f(x)^2 et f(x + 1)
>> = f(x) + 1 pour tout reel
>>
>> x. Attention, il n'y a aucune hypothese de regularite sur f.
>>
>>
> 1) tu montres que f est périodique de période 1 et que si elle est
> déterminée sur [0,1[, elle l'est sur R.
> 2) tu montres que sur ]0,1[, il existe pour tout x un unique couple (x0,
> z) de ]1/4, 1/2[ X Z tel que x = x0^(2^z).
> 3) tu en déduis que la détermination des valeurs en [0] U ]1/4, 1/2[
> détermine totalement f.
> 4) tu as fini.
>[/color]

[Anonyme]

[color=green]
>>
> 1) tu montres que f est périodique de période 1 et que si elle est
> déterminée sur [0,1[, elle l'est sur R.
> 2) tu montres que sur ]0,1[, il existe pour tout x un unique couple (x0,
> z) de ]1/4, 1/2[ X Z tel que x = x0^(2^z).
> 3) tu en déduis que la détermination des valeurs en [0] U ]1/4, 1/2[
> détermine totalement f.
> 4) tu as fini.
>[/color]
Oups, .... que des bêtises !

f(x^2) = (f(x))^2 rend le point 1) faux !

[Anonyme]

je réécris l'énoncé dont la présentation etait confuse

Determiner les fonctions f : R ->R telles que f(x^2) = f(x)^2 et f(x + 1) =
f(x) + 1
pour tout reel x.
Attention, il n'y a aucune hypothese de regularite sur f.

[Anonyme]

On Mon, 15 Nov 2004 23:32:44 +0100, Gauss wrote:

> je réécris l'énoncé dont la présentation etait confuse
>
> Determiner les fonctions f : R ->R telles que f(x^2) = f(x)^2 et f(x + 1) =
> f(x) + 1
> pour tout reel x.
> Attention, il n'y a aucune hypothese de regularite sur f.

Soit p1 et p2 solutions de p^2 = p + 1
Ca donne p1 = (1+sqrt(5))/2 et p2 = (1-sqrt(5))/2

Alors f(p^2) = f(p)^2 et f(p+1) = f(p) + 1

Mais f(p^2) = f(p+1), donc f(p)^2 = f(p) + 1

Donc deux possibilités :

f(p1) = p1 et f(p2) = p2
ou
f(p1) = p2 et f(p2) = p1

On a aussi f(0) = 0 ou 1 et f(1) aussi. Donc f(0) = 0 et f(1) = 1.

Donc pour x appartenant a N, f(x) = x
Douc pour tout x tel que x^2 soit un entier, on a f(x) = x ou -x

Et puis après, là tout de suite, j'ai plus d'idées.

--
Nicolas

[Anonyme]

>
> Determiner les fonctions f : R ->R telles que f(x^2) = f(x)^2 et f(x + 1)
> = f(x) + 1 pour tout reel
>
> x. Attention, il n'y a aucune hypothese de regularite sur f.
>
>
Je ne trouve pas d'approche générale (peut-être est-ce évident)

1) tu as évidemment f(x+n) = f(x) + n
2) en calculant f[(q+p/q)^2] de deux façons, tu montres que f(x)=x pour tout
rationnel.

Il faut ensuite arriver à aller plus loin.

[Anonyme]

> f(x)=x pour tout rationnel.
>
ce qui est sûr, c'est que f(x) = x n'est pas obligatoire.

je pense en effet que f(x) = 0 pour tout transcendant et f(x) = x pour tout
algébrique est une des fonctions qui marchent.

[Anonyme]

"Patrick Coilland" a écrit dans le message de news:
419937e1$0$21012$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
>[color=green]
>> f(x)=x pour tout rationnel.
>>
> ce qui est sûr, c'est que f(x) = x n'est pas obligatoire.
>
> je pense en effet que f(x) = 0 pour tout transcendant et f(x) = x pour
> tout algébrique est une des fonctions qui marchent.
>[/color]


oups, encore des bêtises !

Je pense que ce soir n'est pas mon soir

Oubliez, ..; , merci

[Anonyme]

> Determiner les fonctions f : R ->R telles que f(x^2) = f(x)^2 et f(x + 1)
> =
> f(x) + 1 pour tout reel
>
> x. Attention, il n'y a aucune hypothese de regularite sur f.
>

On sait que f(x) = x sur Q;

Deux questions :

1) es-tu sûr de ne pas avoir d'hypothèse de continuité ?
2) c'est un problème demandé à quel niveau ? (pour savoir sur quoi on peut
s'appuyer le cas échéant)

[Anonyme]

je suis sur en ce qui concerne l'hypothèse de non continuité on a aucune
info a ce sujet

cet exercice est tiré d'un td d'une MPSI d'un lycée de "bon" niveau

"Patrick Coilland" a écrit dans le message de news:
41993e49$0$18816$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
>[color=green]
>> Determiner les fonctions f : R ->R telles que f(x^2) = f(x)^2 et f(x + 1)
>> =
>> f(x) + 1 pour tout reel
>>
>> x. Attention, il n'y a aucune hypothese de regularite sur f.
>>
>
> On sait que f(x) = x sur Q;
>
> Deux questions :
>
> 1) es-tu sûr de ne pas avoir d'hypothèse de continuité ?
> 2) c'est un problème demandé à quel niveau ? (pour savoir sur quoi on peut
> s'appuyer le cas échéant)[/color]

[Anonyme]

>
>
> Determiner les fonctions f : R ->R telles que f(x^2) = f(x)^2 et f(x + 1)
> = f(x) + 1 pour tout reel
>
> x. Attention, il n'y a aucune hypothese de regularite sur f.
>

Bon, un dernier essai avant d'aller me coucher.


Supposons un x0 tel que f(x0) =0[/color]


Donc, pour tout x : f(x) >= x.

On peut raisonner de même (quitte à passer par la démonstration que f est
impaire) pour démontrer que pour tout x, f(x) <= x

Donc f(x) = x Pour tout x.
Et on vérifie à l'évidence que ceci marche .

[Anonyme]

merci de ton aide patrick je comprends la démarche à suivre grace a la démo
que tu as proposé sur feem et sur fr.sci
a bientot
"Patrick Coilland" a écrit dans le message de news:
41994c64$0$6469$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
>[color=green]
>>
>>
>> Determiner les fonctions f : R ->R telles que f(x^2) = f(x)^2 et f(x + 1)
>> = f(x) + 1 pour tout reel
>>
>> x. Attention, il n'y a aucune hypothese de regularite sur f.
>>
>
> Bon, un dernier essai avant d'aller me coucher.
>
>
> Supposons un x0 tel que f(x0) En transformant x0 en x1=x0+n, on a : 1 En élevant au carré un nombre suffisant de fois, on a un x2 qui vérifie :
> 1 En faisant x3 = x2-m, on a :
>
> f(x3) Ce qui est impossible puisque f(x3) = f((racine(x3))^2) = (f(racine(3))^2
> >=0
>
>
> Donc, pour tout x : f(x) >= x.
>
> On peut raisonner de même (quitte à passer par la démonstration que f est
> impaire) pour démontrer que pour tout x, f(x)
> Donc f(x) = x Pour tout x.
> Et on vérifie à l'évidence que ceci marche .
>[/color]

[Anonyme]

> merci de ton aide patrick je comprends la démarche à suivre grace a la
> démo
> que tu as proposé sur feem et sur fr.sci




Dans le même ordre d'idée (mais plus compliqué à mon avis), on peut
probablement démontrer que f(x) est croissante. Comme on sait démontrer que
f(x)=x sur Q, on en tire nécessairement f(x) = x sur R.
Mais je crois que c'est plus long et moins élégant.

patrick