Equation fonctionnelle

[Anonyme]

Bonjour,

Soit E=C([0,1],R) muni de la norme sup. T(f)=g où g(x)=f(x/2)+f((x+1)/2)
alors j'ai montré que T est continue et la norme d'opérateur est egale à 2.
On demande maintenant de montrer que si T(f)=2f, alors f est constante.

T(f)=2f s'ecrit f(x/2)+f((x+1)/2)=2f(x)

en prenant x=0 et x=1 j'ai f(0)=f(1/2)=f(1).
mais je ne vois pas comment faire. par l'absurde? en fabriquant une suite xn
convergente dans [0,1] telle que f(xn)->cste?

merci

[Anonyme]

Wenceslas wrote:
> Soit E=C([0,1],R) muni de la norme sup. T(f)=g où g(x)=f(x/2)+f((x+1)/2)
> alors j'ai montré que T est continue et la norme d'opérateur est egale à 2.
> On demande maintenant de montrer que si T(f)=2f, alors f est constante.
> T(f)=2f s'ecrit f(x/2)+f((x+1)/2)=2f(x)

soit c tel que f(c)=max f et d tel que f(d)=min f

alors 2f(c)= f(c/2)+f((1+c)/2)
or f(c/2)<= f(c) et f( (1+c)/2) <= f(c) si une de ces inégalités est tricte,
alors il n'y a pas égalité au dessus. Ce sont donc des égalités.
D'où f(c)=f(c/2)=f((1+c)/2)
on en déduit par le même raisonnement que pour tout n, f(c/2^n)=f(c) et par
continuité f(0)=f(c)

De même 2f(d)= f(d/2)+f((1+d)/2)
f(d)<= f(d/2) et f((1+d)/2)<= f(d).
on a donc aussi égalités dans les deux ingélités ci dessus, soit f(d/2)=f(d)
De même pour tout n, f(d/2^n)=f(d) et par continuité f(0)=f(d)

ainsi, min f = max f et f est donc constante

Osiris