Dvp limités et suites

[Anonyme]

Bonjour,


On avait la limite en 0 de ((arc tan x / sin^3 ) - 1/x² ) en faisant les DL
de arc tanx et de sin^3 je trouve une limite de -1/3 mais notre prof nous a
dit que la limite était de -5/6 et je n'arrive pas à la trouver.


Dans un exemple traité, notre prof a étudié le comportement de la suite a^n
quand n tend vers + infini.
Il a traité plusieurs cas : a sup à 0
a sup à 1
a = 0
et à partir de a inf à 0 je ne comprends pas, il a posé Un/ (-a) ^n (-1)^n
; -a sup à 0 et pour a = 1 pas de limite

a inf à -1 pas de limite

a compris entre -1 et 0 Un tend vers 0
ensuite il a traité l'exemple avec Un: n cosn pi = (-1)^n n Comment a t'il
obtenu cette forme ?
Comment déterminer la limite de sin n pi/4 ?
Merci de m'aider
Bénédicte

[Anonyme]

"B." a écrit dans le message de
news:ci3s6m$6j5$1@news-reader4.wanadoo.fr...
> Bonjour,
>
>
> On avait la limite en 0 de ((arc tan x / sin^3 ) - 1/x² ) en faisant les
DL
> de arc tanx et de sin^3 je trouve une limite de -1/3 mais notre prof nous
a
> dit que la limite était de -5/6 et je n'arrive pas à la trouver.

Bonjour,

Aprés quelques calculs (un développement au 3e degré), l'on trouve le DL
suivant:
1/6 + 7/40 x² + o(x^3). La limite en 0 est donc 1/6!

[Anonyme]

"B." a écrit dans le message de news:
ci3s6m$6j5$1@news-reader4.wanadoo.fr...
> Bonjour,
>
>
> On avait la limite en 0 de ((arc tan x / sin^3 ) - 1/x² ) en faisant les
DL
> de arc tanx et de sin^3 je trouve une limite de -1/3 mais notre prof nous
a
> dit que la limite était de -5/6 et je n'arrive pas à la trouver.
>

chez moi, maple me donne 2/3+3/10*x^2+O(x^4)

[Anonyme]

On Mon, 13 Sep 2004 12:02:04 +0200, "B."
wrote:

>Bonjour,
>
>
>On avait la limite en 0 de ((arc tan x / sin^3 ) - 1/x² ) en faisant les DL
>de arc tanx et de sin^3 je trouve une limite de -1/3 mais notre prof nous a
>dit que la limite était de -5/6 et je n'arrive pas à la trouver.
>
>
je suis d'accord avec la réponse de Julien
*****************

Pichereau Alain

adresse mail antispam
http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )

*****************

[Anonyme]

Le Mon, 13 Sep 2004 12:02:04 +0200, B. à écrit
>Bonjour,
>
>
>On avait la limite en 0 de ((arc tan x / sin^3 ) - 1/x² ) en faisant les DL
>de arc tanx et de sin^3 je trouve une limite de -1/3 mais notre prof nous a
>dit que la limite était de -5/6 et je n'arrive pas à la trouver.

tu dois faire attention à ce que les ordres de o(x^n) correspondent
quand tu fais un DL sinon le DL est faux.

par exemple si tu fais :

arctan(x) = x - x^3/3 + o(x^3)
sin(x) = x -x^3/6 + o(x^3)
sin(x)^3 = x^3 + o(x^3)

arctan(x)/sin(x)^3
= [x - x^3/3 + o(x^3)] / x^3 [ 1+o(1) ] DL de 1/(1+x) = 1-x+o(x)
= 1/x^3 * [x - x^3/3 + o(x^3)] * [ 1 - o(1) ]

tu vois que tu dois multiplier 2 DL, l'un en o(x^3) l'autre en o(1),
par conséquent tu DOIS ignorer tous les termes plus petits que o(1)
dans le dl de arctan, càd qu'il ne te reste plus rien, et non pas
quelque chose du type 1/x² - 1/3

En revanche si tu fais ceci

arctan(x) = x - x^3/3 + o(x^4)
sin(x)^3 = x^3 - x^5/2 + o(x^6)

arctan(x)/sin(x)^3
= arctan(x)/x^3 * 1/(1- x^2/2 + o(x^3))
= 1/x^3 * (x - x^3/3 + o(x^4)) * (1+ x^2/2 + o(x^3))

là tu dois multiplier 2 DL en te limitant au plus grand de o(x^4) et
o(x^3) càd o(x^3)

= 1/x^3 * (x - x^3/3 + o(x^3)) * (1+ x^2/2 + o(x^3))

c'est en développant que tu vois apparaitre le -1/3 + 1/2 = 1/6

Le DL final est 1/x² + 1/6 + o(1)

>Dans un exemple traité, notre prof a étudié le comportement de la suite a^n
>quand n tend vers + infini.
>Il a traité plusieurs cas : a sup à 0
> a sup à 1
> a = 0
>et à partir de a inf à 0 je ne comprends pas, il a posé Un/ (-a) ^n (-1)^n
>; -a sup à 0 et pour a = 1 pas de limite
>
>a inf à -1 pas de limite
>
>a compris entre -1 et 0 Un tend vers 0

a>1 => a^n -> +oo a^n DV

a=1 => a^n = 1 -> 1 a^n CV vers 1

0 a^n -> 0 a^n CV vers 0

si a est négatif alors a = - |a| est plus facile à comprendre.

a^n = (- |a| )^n = (-1)^n * |a|^n

a |a|>1 => |a|^n -> +oo mais a^n n'a pas de limite même
infinie car le signe change tout le temps. a^n DV

a=-1 => (-1)^n n'a pas de limite car change tout le temps de signe
a^n DV

-1 [a|^n -> 0 => a^n -> 0 a^n CV vers 0


>ensuite il a traité l'exemple avec Un: n cosn pi = (-1)^n n Comment a t'il
>obtenu cette forme ?

cos(pi) = -1
cos(2pi) = cos(0) = 1
....
cos(2n+1 pi) = cos(pi + n*2pi) = cos(pi) = -1
cos(2npi) = cos(0 + n*2pi) = cos(0) = 1

car cosinus est 2pi périodique d'où en abrégé cos(npi) = (-1)^n

>Comment déterminer la limite de sin n pi/4 ?

sin est 2pi périodique donc tu dois trouver les valeurs de sin( n
pi/4).

il y a

n=0 sin(0) = 0
n=1 sin(pi/4) = sqrt(2)/2
n=2 sin(pi/2) = 1
....
n=7 sin(7pi/4) = -sqrt(2)/2

à partir de n=8 on recommence avec les mêmes valeurs.

donc il n'y a pas de limite...

>Merci de m'aider
>Bénédicte

Ce qui me parait étrange c'est que le niveau des 2 exercices n'est pas
du tout le même, niveau SUP pour le premier, niveau 2nde/1ere pour le
second.

Bizarre.


--
zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volonté humaine...

[Anonyme]

même avec maple j'arrive à me gourrer, j'avais mal recopier la fonction.
Effectivement la réponse de Julien est correcte.

"B." a écrit dans le message de news:
ci3s6m$6j5$1@news-reader4.wanadoo.fr...
> Bonjour,
>
>
> On avait la limite en 0 de ((arc tan x / sin^3 ) - 1/x² ) en faisant les
DL
> de arc tanx et de sin^3 je trouve une limite de -1/3 mais notre prof nous
a
> dit que la limite était de -5/6 et je n'arrive pas à la trouver.
>
>
> Dans un exemple traité, notre prof a étudié le comportement de la suite
a^n
> quand n tend vers + infini.
> Il a traité plusieurs cas : a sup à 0
> a sup à 1
> a = 0
> et à partir de a inf à 0 je ne comprends pas, il a posé Un/ (-a) ^n (-1)^n
> ; -a sup à 0 et pour a = 1 pas de limite
>
> a inf à -1 pas de limite
>
> a compris entre -1 et 0 Un tend vers 0
> ensuite il a traité l'exemple avec Un: n cosn pi = (-1)^n n Comment a t'il
> obtenu cette forme ?
> Comment déterminer la limite de sin n pi/4 ?
> Merci de m'aider
> Bénédicte
>
>
>
>

[Anonyme]

B. a écrit :

> Bonjour,
>
>
> On avait la limite en 0 de ((arc tan x / sin^3 ) - 1/x² ) en faisant les DL
> de arc tanx et de sin^3 je trouve une limite de -1/3 mais notre prof nous a
> dit que la limite était de -5/6 et je n'arrive pas à la trouver.
>
>
> Dans un exemple traité, notre prof a étudié le comportement de la suite a^n
> quand n tend vers + infini.
> Il a traité plusieurs cas : a sup à 0
> a sup à 1
> a = 0
> et à partir de a inf à 0 je ne comprends pas, il a posé Un/ (-a) ^n (-1)^n
> ; -a sup à 0 et pour a = 1 pas de limite
>
> a inf à -1 pas de limite
Pour ma par je dirais:
Si a=1 alors la limite est 1 (suite constante)
Si a>1 alors la suite diverge
Si 00 et le suite devient
(-a')n=(-1)^n*(a')^n qui n'a pas de limite à cause du (-1)^n qui va
faire "osciller" ta suite (sauf si a=0).
>

> a compris entre -1 et 0 Un tend vers 0
> ensuite il a traité l'exemple avec Un: n cosn pi = (-1)^n n Comment a t'il
> obtenu cette forme ?
Si n est pair alors cos (n*pi)=1 et donc n*cos(n*Pi)=n
Si est impair alors cos (n*Pi)=-1 et donc n*cos (n*Pi)=-n
Maintenant si n est qcq (i.e pair ou impair) n*cos(n*Pi)=(-1)^n*n (si n
est pair alors (-1)^n=1 et n impair (-1)^n=1)
> Comment déterminer la limite de sin n pi/4 ?
Il n'y a pas de limite puisqu'elle est bornée: elle "oscille" entre -1
et 1 (penser à un=(-1)^n ou encore cos n et sin n).
> Merci de m'aider
> Bénédicte
>
>
>
>
Bonsoir,
personnellement, je trouve 1/6 comme limite en 0 comme Julien. Mais je
n'ai pas vérifié avec Maple. ((1/6+x²/5)/(1-x²/2)+o(x²)).

--
Stéphane Saje
http://perso.wanadoo.fr/stephane.saje/

[Anonyme]

Le Mon, 13 Sep 2004 19:52:49 +0200, Stéphane Saje à écrit
>Si maintenant a0 et le suite devient
>(-a')n=(-1)^n*(a')^n qui n'a pas de limite à cause du (-1)^n qui va
>faire "osciller" ta suite (sauf si a=0).

et si a' = 1/2 ça ne tend pas vers 0 ?
[color=green]
>> Comment déterminer la limite de sin n pi/4 ?
>Il n'y a pas de limite puisqu'elle est bornée: elle "oscille" entre -1
>et 1 (penser à un=(-1)^n ou encore cos n et sin n).[/color]

toute suite convergente est bornée, par définition.

Et d'autre part que dis tu de
Un = 1237 + (-1)^n * 10000000000000000000000000000000000000000000000/n

Un oscille beaucoup autour de 1237 pourtant elle converge vers 1237...


Le fait que sin( n pi/4) diverge vient du fait qu'elle peut prendre au
moins 2 valeurs différentes (0 et 1) ou (sqrt(2)/2 et -1), etc ... une
infinité de fois.



--
zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volonté humaine...

[Anonyme]

zwim a écrit :

> Le Mon, 13 Sep 2004 19:52:49 +0200, Stéphane Saje à écrit
>[color=green]
>>Si maintenant a0 et le suite devient
>>(-a')n=(-1)^n*(a')^n qui n'a pas de limite à cause du (-1)^n qui va
>>faire "osciller" ta suite (sauf si a=0).
>
>
> et si a' = 1/2 ça ne tend pas vers 0 ?[/color]
Effectivement la limite est bien nulle...... tout comme l'auteur !!
>
>[color=green][color=darkred]
>>>Comment déterminer la limite de sin n pi/4 ?
>>
>>Il n'y a pas de limite puisqu'elle est bornée: elle "oscille" entre -1
>>et 1 (penser à un=(-1)^n ou encore cos n et sin n).[/color]
>
>
> toute suite convergente est bornée, par définition.
>
> Et d'autre part que dis tu de
> Un = 1237 + (-1)^n * 10000000000000000000000000000000000000000000000/n
>
> Un oscille beaucoup autour de 1237 pourtant elle converge vers 1237...[/color]
Oui bien sûr, mon vocabulaire est à revoir de a à z... on mettra sur le
compte des vacances qui ont été bonnes.
>
>
> Le fait que sin( n pi/4) diverge vient du fait qu'elle peut prendre au
> moins 2 valeurs différentes (0 et 1) ou (sqrt(2)/2 et -1), etc ... une
> infinité de fois.
Pareil.

Merci,
Bonne soirée
>
>
>


--
Stéphane Saje
http://perso.wanadoo.fr/stephane.saje/

[Anonyme]

>
> Ce qui me parait étrange c'est que le niveau des 2 exercices n'est pas
> du tout le même, niveau SUP pour le premier, niveau 2nde/1ere pour le
> second.
>
> Bizarre.

Merci pour les explications, ce qui est plutôt inquiétant c'est que pour ma
correction du premier exo mon prof a mis -5/6, mais faut dire qu'entre temps
il s'est trompé, il était monté jusqu'à l'ordre 5 pour le numérateur et 7
pour le dénominateur.
Pour le niveau, ce sont les exos qui font parti de l'option préparation aux
concours de deuxième année de deug sv.

[Anonyme]

bonsoir
en fait c'est pas toujours facile de vérifier un DL si on ne dispose
que d'une simple calculatrice

pour l'exemple considéré f(x)=atan(x)/(sinx)^3-1/x^2
le Dl (à l'ordre 3) est-il bien 1/6+7*x^2/40=g(x) ?

avec une calculatrice
f(0,001)=0,1666668 qui colle avec 1/6
f(0,01)=0,1666841 et g(0,01)=0,1666841
f(0,1)=0,1684 et g(0,1)=0,1684
f(0,2)=0,17357 et g(0,2)=0,17366

donc g n'est pas ....idiot (et pour cause , c'est le bon)
*****************

Pichereau Alain

adresse mail antispam
http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )

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