[License 1ère année] Détermination d'un ensemble

[Anonyme]

Bonjour je bloque depuis plusieurs heures sur le problème suivant :

Soit un ensemble défini par :
" x ? [ 0 ; 1 ] tel que pour tout entier naturel n , x est inférieur a 1
/ ( n + 1 )"

F a t il un, une infinité ou aucun élément ?

Je n'arrive pas a déterminer l'ensemble F explicitement, je m'en remet donc
a vos ingénieux esprits.
C'est sans doute très simple mais je n'en puis plus de sécher..
Merci d'avance
Bonnes mathématiques (et bonne vacances pour certains)

Yohann

[Anonyme]

Statik- a écrit :
> " x ? [ 0 ; 1 ] tel que pour tout entier naturel n , x est inférieur a 1
> / ( n + 1 )"


x doit être inférieur à 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,... et néanmoins x positif.
Conclusion?

--
Nico.

[Anonyme]

"Nicolas Richard" a écrit dans le message
de news: 40E07695.3D424645@yahoo.fr...
> Statik- a écrit :[color=green]
> > " x ? [ 0 ; 1 ] tel que pour tout entier naturel n , x est inférieur[/color]
a 1[color=green]
> > / ( n + 1 )"
>
>
> x doit être inférieur à 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,... et néanmoins x positif.[/color]

ah certes certes je saisis tout a fait que x ne peut etre égal qu'a 0 mais a
démontrer rigoureusement j'ai beaucoup de mal...Est ce qu'on peut utiliser
un passage a la limite ou quelque chose de ce genre ?
(je sors juste de terminale S donc je ne suis pas encore très familier a ces
concepts)
Merci en tout cas ca me fait déjà une piste mais si vous pouviez me donner
une démonstration type ce serait très sympa je ne vois vraiement pas comment
le démontrer


Merci d'avance.

Yohann

[Anonyme]

> ah certes certes je saisis tout a fait que x ne peut etre égal qu'a 0 mais
a
> démontrer rigoureusement j'ai beaucoup de mal...Est ce qu'on peut utiliser
> un passage a la limite ou quelque chose de ce genre ?

Tu peux considérer ça comme une évidence.

[Anonyme]

Le Mon, 28 Jun 2004 21:48:19 +0200, Statik- a écrit :

> Bonjour je bloque depuis plusieurs heures sur le problème suivant :
>
> Soit un ensemble défini par :
> " x ? [ 0 ; 1 ] tel que pour tout entier naturel n , x est inférieur a 1
> / ( n + 1 )"
>
> F a t il un, une infinité ou aucun élément ?
>
> Je n'arrive pas a déterminer l'ensemble F explicitement, je m'en remet donc
> a vos ingénieux esprits.
> C'est sans doute très simple mais je n'en puis plus de sécher..
> Merci d'avance
> Bonnes mathématiques (et bonne vacances pour certains)
>
> Yohann

0 est évidemment un élément de F.
Il suffit de montrer que pour tout élément x de ]O;1] il existe
un entier n tel que x > 1/(n+1) donc que x n'appartient pas à F
(Ceci découle du fait que R est archimédien). La conclusion vient toute
seule.

--
jjr

[Anonyme]

Statik- a écrit :
> Merci en tout cas ca me fait déjà une piste mais si vous pouviez me donner
> une démonstration type ce serait très sympa je ne vois vraiement pas comment
> le démontrer

Par rapport au post de JJR, probablement que le fait que 1/(n+1) tend
vers 0 est plus familier que "R est archimédien". Donc pour tout
epsilon, qui ici s'appelle 'x', il existe blablabla, et donc on a même
une infinité de 'n' qui conviennent (on s'en doutait).

--
Nico.

[Anonyme]

"Statik-" a écrit
[color=green][color=darkred]
> > > " x ? [ 0 ; 1 ] tel que pour tout entier naturel n , x est[/color][/color]
inférieur
> a 1[color=green][color=darkred]
> > > / ( n + 1 )"
> >
> >
> > x doit être inférieur à 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,... et néanmoins x[/color][/color]
positif.
>
> ah certes certes je saisis tout a fait que x ne peut etre égal qu'a 0
mais a
> démontrer rigoureusement j'ai beaucoup de mal...Est ce qu'on peut
utiliser
> un passage a la limite ou quelque chose de ce genre ?
> (je sors juste de terminale S donc je ne suis pas encore très familier
a ces
> concepts)
> Merci en tout cas ca me fait déjà une piste mais si vous pouviez me
donner
> une démonstration type ce serait très sympa je ne vois vraiement pas
comment
> le démontrer
>
Tu as peut-être entendu parler de l'axiome d'Archimède (c'est un axiome
ou un théorème suivant la manière dont on construit l'ensemble R des
réels) :

Soit a un réel. Il existe un entier m tel que m > a.

(Autre formulation possible : soient a et b deux réels avec a>0 ; il
existe un entier m tel que ma > b)

Suppose que x soit un réel *strictement* positif. Alors il existe un
entier m tel que m > 1/x. Donc x > 1/m. Ceci contredit le fait que x <
1/n pour tout n. Par suite x ne peut pas être strictement positif et il
est donc nul.

Cordialement
Stéphane

[Anonyme]

Statik a écrit
> ah certes certes je saisis tout a fait que x ne peut etre égal qu'a 0 mais
a
> démontrer rigoureusement j'ai beaucoup de mal...Est ce qu'on peut utiliser
> un passage a la limite ou quelque chose de ce genre ?

Tout simplement par une démonstration par l'absurde.
Supposons que l'ensemble contient x non nul.
Soit N la partie entière de 1/x
Alors x > 1/(N+1)
Contradiction

Pierre

[Anonyme]

Merci a tous
A bientot