Tribu engendrée par l'ensemble des singletons d'un ensemble.

[Anonyme]

Soit E un ensemble.
Soit S l'ensemble des singletons de E.
Je cherche à déterminer la tribu engendrée par S.

J'ai trouvé la réponse ; c'est l'ensemble des parties de E qui sont
dénombrables ou dont le complémentaire est dénombrable.
Mais je n'ai pas trouvé la preuve et je ne vois pas du tout comment m'y
prendre.
Quelqu'un aurait une piste, un début d'explication... ?
Merci.

Nb.
Pour moi 'dénombrable' signifie 'être en bijection avec une partie de N'.
Pour certains c'est 'être en bijection avec N', et ces certains utilisent
l'expression 'au plus dénombrable' pour désigner un ensemble en bijection
avec une partie de N.
Avec cette dernière définition, un ensemble fini n'est pas dénombrable, ce
qui me semble contradictoire avec la définition du mot 'dénombrable' dans la
langue française.
Qu'en pensez-vous ?

[Anonyme]

> Mais je n'ai pas trouvé la preuve et je ne vois pas du tout comment m'y
> prendre.

Tu commences par montrer que la tribu solution contient ton ensemble
"solution" M. Comme en plus M est une tribu, M convient.

[Anonyme]

J'ai commencé par montrée que l'ensemble R des parties de E qui sont
dénombrables ou dont le complémentaire est dénombrable, est effectivement
une tribu sur E (pas très dur...).
Comme je sais que sigma(S) est la plus petite tribu sur E contenant S, il
reste à prouver comme tu me l'as dit que :
S C R C sigma(S).
Pour montrer que S est inclus dans R, c'est immédiat puisqu'un singleton est
fini donc dénombrable.
Mais alors pour montrer que R C sigma(S), je vois pas du tout comment
faire.
Si A est dans R, alors A est dénombrable ou son complémentaire l'est.
Comment montrer à partir de ça que A est dans sigma(S) avec le peu de choses
que je sais sur sigma(S) (c'est une tribu sur E qui contient S) ?

"Julien Santini" a écrit dans le message de
news: 4156e240$0$750$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green]
> > Mais je n'ai pas trouvé la preuve et je ne vois pas du tout comment m'y
> > prendre.
>
> Tu commences par montrer que la tribu solution contient ton ensemble
> "solution" M. Comme en plus M est une tribu, M convient.
>
>[/color]

[Anonyme]

"Romain M" a écrit dans le message de news:
4156ec50$0$13153$636a15ce@news.free.fr...
> J'ai commencé par montrée que l'ensemble R

heu... montrer

[Anonyme]

> J'ai commencé par montrée que l'ensemble R des parties de E qui sont
> dénombrables ou dont le complémentaire est dénombrable, est effectivement
> une tribu sur E (pas très dur...).

Bon.

> Comme je sais que sigma(S) est la plus petite tribu sur E contenant S, il
> reste à prouver comme tu me l'as dit que :
> S C R C sigma(S).
> Pour montrer que S est inclus dans R, c'est immédiat puisqu'un singleton
est
> fini donc dénombrable.
> Mais alors pour montrer que R C sigma(S), je vois pas du tout comment
> faire.

S doit contenir les réunions dénombrables d'éléments de S et les
complémentaires de ces réunions [par définition d'une tribu] ... mais ce
sont précisément les éléments de R ... donc R C Sigma(S).

[Anonyme]

Ouais je vois, c'est à peu près évident, mais pour rédiger ça correctement
bof...
Merci.

"Julien Santini" a écrit dans le message de
news: 4157267a$0$700$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green]
> > J'ai commencé par montrée que l'ensemble R des parties de E qui sont
> > dénombrables ou dont le complémentaire est dénombrable, est[/color]
effectivement[color=green]
> > une tribu sur E (pas très dur...).
>
> Bon.
>
> > Comme je sais que sigma(S) est la plus petite tribu sur E contenant S,[/color]
il[color=green]
> > reste à prouver comme tu me l'as dit que :
> > S C R C sigma(S).
> > Pour montrer que S est inclus dans R, c'est immédiat puisqu'un singleton
> est
> > fini donc dénombrable.
> > Mais alors pour montrer que R C sigma(S), je vois pas du tout comment
> > faire.
>
> S doit contenir les réunions dénombrables d'éléments de S et les
> complémentaires de ces réunions [par définition d'une tribu] ... mais ce
> sont précisément les éléments de R ... donc R C Sigma(S).
>
>[/color]