Détermination d'une base

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Anonyme

détermination d'une base

par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:06

bonjour,
j'ai un petit soucis : je bloque sur une question d'un exo :
soit F l'e.v des fonctions de classe C inf. sur R à valeur dans R
soit E le sous-ensemble de F des fonctions de la forme : x -> P(x)*sin(x)
+ Q(x)*cos(x) où P et Q deux polynômes de R1[x]
soit D un endomorphisme de E : c'est l'application définie sur E qui, à une
fonction f asssocie sa dérivée .


On me demande de déterminer une base du noyau et de l'image de D² + Id(E)
.. Pour trouver les dimensions je n'ai pas eu de problème mais je n'arrive
pas à trouver ces bases . Faut-il interpréter matriciellement (D²+Id(E))
(f) = O(E) pour trouver par exemple une base du noyau ?
merci d'avance .
Matt

P.s : dans les questions précédentes j'ai déjà prouvé que D est une
bijection de E sur E et j'ai déterminé rg ( D² + Id(E) ) = 2



Anonyme

Re: détermination d'une base

par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:06

> j'ai un petit soucis : je bloque sur une question d'un exo :
> soit F l'e.v des fonctions de classe C inf. sur R à valeur dans R
> soit E le sous-ensemble de F des fonctions de la forme : x ->

P(x)*sin(x)
> + Q(x)*cos(x) où P et Q deux polynômes de R1[x]
> soit D un endomorphisme de E : c'est l'application définie sur E qui, à

une
> fonction f asssocie sa dérivée .
>
>
> On me demande de déterminer une base du noyau et de l'image de D² +

Id(E)
> . Pour trouver les dimensions je n'ai pas eu de problème mais je n'arrive
> pas à trouver ces bases . Faut-il interpréter matriciellement (D²+Id(E))
> (f) = O(E) pour trouver par exemple une base du noyau ?
> merci d'avance .
> Matt
>
> P.s : dans les questions précédentes j'ai déjà prouvé que D est une
> bijection de E sur E et j'ai déterminé rg ( D² + Id(E) ) = 2



E est de dimension 4 et rg(D²+Id(E))=2 donc, d'après le théorème du rang,
son noyau est de dimension 2.
Il suffit donc de trouver une famille libre de deux vecteurs du noyau,e t ce
sera une base.
Maintenant, si tu écris qu'un élément de E est dans ce noyau, tu verras
qu'il vérifie une certain équadiff dont on connait des solutions.

--
Maxi

Anonyme

Re: détermination d'une base

par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:06

> E est de dimension 4 et rg(D²+Id(E))=2 donc, d'après le théorème du rang,
> son noyau est de dimension 2.
> Il suffit donc de trouver une famille libre de deux vecteurs du noyau,e t

ce
> sera une base.
> Maintenant, si tu écris qu'un élément de E est dans ce noyau, tu verras
> qu'il vérifie une certain équadiff dont on connait des solutions.
>
> --
> Maxi


Je pense avoir compris :
les fonctions f sont dans le noyau vérifient f '' + f = 0 donc une base du
noyau est la famille ( cos(x) , sin(x) )
et cette base est commune à Im (D²+Id(E)) car (D²+Id(E)) ( f ) =
2*P'(x)*cos ( x) - 2*Q'(x)*sin(x) ainsi ( cos , sin ) est aussi une base
de Im (D²+Id(E)) .
Si tu peux juste me dire si mon raisonnement tient la route .
Merci pour ton aide
Matt

 

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