Determinant

[Anonyme]

Bonjour,

Soit A dans Mn(R), A=(aij)
On suppose que qqsoit i,j, aij est dans {-1,1}

Montrer que 2^(n-1) divise det A.

on doit sans doute utiliser la formule du déterminant
detA=Sum((-1)^(i+j)*aii*Dij,i=1..n) developpement par rapport à une colonne j.

le truc c'est que j'aimerai par des transformations sur lignes et colonnes me
donner une colonne ou ligne avec beaucoup de 0. Mais il y a trop de
combinaisons possibles , je crois que ça foire de ce coté.
comment faire?

[Anonyme]

Wenceslas wrote:
> Soit A dans Mn(R), A=(aij)
> On suppose que qqsoit i,j, aij est dans {-1,1}
> Montrer que 2^(n-1) divise det A.

On fait pour toutes les colonnes Li Li - L1 (on remplace Li par Li-L1)
ainsi,il restera sur Li,des 0, des 2 ou des -2,Li sera donc "divisible" par 2.
chaque Li (i>1) étant divisible par 2, on peut faire sortir 2^(n-1)de lamatrice A...

[Anonyme]

"Wenceslas" a écrit dans le message news:
20030925094234.12637.00000150@mb-m28.aol.com...
> Bonjour,
>
> Soit A dans Mn(R), A=(aij)
> On suppose que qqsoit i,j, aij est dans {-1,1}
>
> Montrer que 2^(n-1) divise det A.
>
> on doit sans doute utiliser la formule du déterminant
> detA=Sum((-1)^(i+j)*aii*Dij,i=1..n) developpement par rapport à une
colonne j.
>
> le truc c'est que j'aimerai par des transformations sur lignes et colonnes
me
> donner une colonne ou ligne avec beaucoup de 0.

Que se passe-t-il si tu ajoutes la colonne 1 à chacune des autre colonnes ?

>Mais il y a trop de
> combinaisons possibles , je crois que ça foire de ce coté.
> comment faire?
>
>
>
>
>

[Anonyme]

Sans avoir essayé, j'ai l'impression que ça marcherait bien par récurrence
sur n :
Le déterminant d'ordre n tu le développe en fonction de déterminants d'ordre
n-1, tous divisibles par 2^(n-2)...et comme tu additionne des 1 et des -1 ça
doit donner un facteur 2 quelque part.

[Anonyme]

> Soit A dans Mn(R), A=(aij)
> On suppose que qqsoit i,j, aij est dans {-1,1}
>
> Montrer que 2^(n-1) divise det A.

Salut,

Effectue les opérations élémentaires:
C_i <- C_i + C_(i+1) pour tout i dans [|1;n-1|].
T u peux alors mettre 2 en facteur pour chacune des n-1 premières colonnes,
donc det(M) divisible par 2^(n-1).
Bye.

--
Julien Santini