Déterminant

[Anonyme]

Bonjour,

Je vous soumets cet exercice qui me rend perplexe depuis quelques temps.

On considère deux matrices A et B de Mn(R) telles que AB=BA.
On construit alors la matrice M, par blocs, suivante:
M:=matrix([[A][B][-B][A]]).
La question est la suivante:
Prouver que det(M) est un réel positif ou nul.

Si quelqu'un a de l'inspiration, je suis preneur car moi.. je sèche.

Merci pour votre aide,
Cordialement,
Stéphane Saje

--
Stéphane Saje
http://perso.wanadoo.fr/stephane.saje/

[Anonyme]

On Wed, 27 Oct 2004 19:33:41 +0200, Stéphane Saje wrote:

> Je vous soumets cet exercice qui me rend perplexe depuis quelques temps.

> On considère deux matrices A et B de Mn(R) telles que AB=BA.
> On construit alors la matrice M, par blocs, suivante:
> M:=matrix([[A][B][-B][A]]).
> La question est la suivante:
> Prouver que det(M) est un réel positif ou nul.

> Si quelqu'un a de l'inspiration, je suis preneur car moi.. je sèche.

On n'a pas det(M)=det(A)²+det(B)² ?

nicolas patrois : pts noir asocial
--
SPROTCH !

P : Non, y a rien de plus immonde que de chier sur la moquette...
M : Pas d'accord... A pire... Chier sous la moquette...
H : ?!!

[Anonyme]

Stéphane Saje wrote:

> Bonjour,
>
> Je vous soumets cet exercice qui me rend perplexe depuis quelques temps.
>
> On considère deux matrices A et B de Mn(R) telles que AB=BA.
> On construit alors la matrice M, par blocs, suivante:
> M:=matrix([[A][B][-B][A]]).
> La question est la suivante:
> Prouver que det(M) est un réel positif ou nul.

Si n=1, A et B sont des nombres réels.
On peut diagonaliser M dans C:
M est semblable à la matrice diagonale de diagonale a-ib, a+ib, et la
matrice de passage se calcule facilement.

Si n>1, on peut généraliser le calcul et se ramener à une matrice
diagonale par bloc.

--
Benoît RIVET

[Anonyme]

Merci à tous les deux.
Je n'y pensais vraiment pas.
Merci beaucoup,
Stéphane


Stéphane Saje a écrit :
> Bonjour,
>
> Je vous soumets cet exercice qui me rend perplexe depuis quelques temps.
>
> On considère deux matrices A et B de Mn(R) telles que AB=BA.
> On construit alors la matrice M, par blocs, suivante:
> M:=matrix([[A][B][-B][A]]).
> La question est la suivante:
> Prouver que det(M) est un réel positif ou nul.
>
> Si quelqu'un a de l'inspiration, je suis preneur car moi.. je sèche.
>
> Merci pour votre aide,
> Cordialement,
> Stéphane Saje
>


--
Stéphane Saje
http://perso.wanadoo.fr/stephane.saje/

[Anonyme]

On Wed, 27 Oct 2004 19:33:41 +0200, =?ISO-8859-1?Q?St=E9phane_Saje?=
wrote:

>Bonjour,
>
>Je vous soumets cet exercice qui me rend perplexe depuis quelques temps.
>
>On considère deux matrices A et B de Mn(R) telles que AB=BA.
>On construit alors la matrice M, par blocs, suivante:
>M:=matrix([[A][B][-B][A]]).
>La question est la suivante:
>Prouver que det(M) est un réel positif ou nul.
>

je vais utiliser le fait que pour une matrice bloc du type
U V
0 W
le det est detU*detW

si A est inversible tu x à gauche par
A^-1 0
B A
dont le det est 1
et on obtient la matrice
I A^-1B
0 A^2+B^2

donc detM =det(A^2+B^2)

qui est >=0 (cf factorisation (A+iB)*(A-iB)=A^2+B^2 , A et B
commutant))

si A pas inversible
0 est valeur propre de A et pour x petit non nul A-xI sera
inversible
et en remplacant A par A-xI
detM(x)=det(A(x)^2+B^2)
c'est une égalité de polynôme pour une infinité de x
ils sont donc égaux et on fait x=0
*****************
http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )
*****************

[Anonyme]

On Wed, 27 Oct 2004 21:38:47 +0200, nicolas
wrote:

>On Wed, 27 Oct 2004 19:33:41 +0200, Stéphane Saje wrote:
>[color=green]
>> Je vous soumets cet exercice qui me rend perplexe depuis quelques temps.
>
>> On considère deux matrices A et B de Mn(R) telles que AB=BA.
>> On construit alors la matrice M, par blocs, suivante:
>> M:=matrix([[A][B][-B][A]]).
>> La question est la suivante:
>> Prouver que det(M) est un réel positif ou nul.
>
>> Si quelqu'un a de l'inspiration, je suis preneur car moi.. je sèche.
>
>On n'a pas det(M)=det(A)²+det(B)² ?
>
>nicolas patrois : pts noir asocial
>--[/color]
non
par exemple si on prend le cas B=A soit
la matrice bloc
A A
-A A
son det est celui de
2A A
0 A
soit det(2A)*det(A)=2^n*(detA)^2
qui n'est pas det(A)^2+det(A)^2

[Anonyme]

On Wed, 27 Oct 2004 22:12:11 GMT,
marc.pichereauantispam@wanadoo.fr.invalid (Marc Pichereau) wrote:

>On Wed, 27 Oct 2004 19:33:41 +0200, =?ISO-8859-1?Q?St=E9phane_Saje?=
> wrote:
>[color=green]
>>Bonjour,
>>
>>Je vous soumets cet exercice qui me rend perplexe depuis quelques temps.
>>
>>On considère deux matrices A et B de Mn(R) telles que AB=BA.
>>On construit alors la matrice M, par blocs, suivante:
>>M:=matrix([[A][B][-B][A]]).
>>La question est la suivante:
>>Prouver que det(M) est un réel positif ou nul.
>>
>
>je vais utiliser le fait que pour une matrice bloc du type
>U V
>0 W
>le det est detU*detW
>
>si A est inversible tu x à gauche par
>A^-1 0
>B A
>dont le det est 1
>et on obtient la matrice
>I A^-1B
>0 A^2+B^2
>
>donc detM =det(A^2+B^2)
>
>qui est >=0 (cf factorisation (A+iB)*(A-iB)=A^2+B^2 , A et B
>commutant))
>
>si A pas inversible
>0 est valeur propre de A et pour x petit non nul A-xI sera
>inversible
>et en remplacant A par A-xI
>detM(x)=det(A(x)^2+B^2)
>c'est une égalité de polynôme pour une infinité de x
>ils sont donc égaux et on fait x=0[/color]


En fait on peut démontrer de façon tout à fait analogue que si
A et C commutent alors
le det de
A B
C D
est
det(AD-CB)

d'où l'on déduit évidemmment que
si A et B commutent
le det de
A B
-B A
est det (A^2+B^2)

Rem : il existe dans quadrature 25 (1996) un exo
donnant une floppée de conditions suffisantes
pour que
le det de
A B
C D
soit det(AD-BC) ; il s'agit bien ici de BC et non CB
*****************
http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )
*****************

[Anonyme]

Marc Pichereau a écrit :
> On Wed, 27 Oct 2004 22:12:11 GMT,
> marc.pichereauantispam@wanadoo.fr.invalid (Marc Pichereau) wrote:
>
>[color=green]
>>On Wed, 27 Oct 2004 19:33:41 +0200, =?ISO-8859-1?Q?St=E9phane_Saje?=
>> wrote:
>>
>>[color=darkred]
>>>Bonjour,
>>>
>>>Je vous soumets cet exercice qui me rend perplexe depuis quelques temps.
>>>
>>>On considère deux matrices A et B de Mn(R) telles que AB=BA.
>>>On construit alors la matrice M, par blocs, suivante:
>>>M:=matrix([[A][B][-B][A]]).
>>>La question est la suivante:
>>>Prouver que det(M) est un réel positif ou nul.
>>>
>>
>>je vais utiliser le fait que pour une matrice bloc du type
>>U V
>>0 W
>>le det est detU*detW
>>
>>si A est inversible tu x à gauche par
>>A^-1 0
>>B A
>>dont le det est 1
>>et on obtient la matrice
>>I A^-1B
>>0 A^2+B^2
>>
>>donc detM =det(A^2+B^2)
>>
>>qui est >=0 (cf factorisation (A+iB)*(A-iB)=A^2+B^2 , A et B
>>commutant))
>>
>>si A pas inversible
>>0 est valeur propre de A et pour x petit non nul A-xI sera
>>inversible
>>et en remplacant A par A-xI
>>detM(x)=det(A(x)^2+B^2)
>>c'est une égalité de polynôme pour une infinité de x
>>ils sont donc égaux et on fait x=0[/color]
>
>
>
> En fait on peut démontrer de façon tout à fait analogue que si
> A et C commutent alors
> le det de
> A B
> C D
> est
> det(AD-CB)
>
> d'où l'on déduit évidemmment que
> si A et B commutent
> le det de
> A B
> -B A
> est det (A^2+B^2)
>
> Rem : il existe dans quadrature 25 (1996) un exo
> donnant une floppée de conditions suffisantes
> pour que
> le det de
> A B
> C D
> soit det(AD-BC) ; il s'agit bien ici de BC et non CB
> *****************
> http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
> ( olympiades mathématiques 1ère S )
> *****************[/color]
Merci pour toutes ces précisions. J'irais voir à la bibliothèque de mon
lycée si je peux trouver le numéro en question
Bonne soirée
Stéphane

--
Stéphane Saje
http://perso.wanadoo.fr/stephane.saje/