Q dense dans R

[Anonyme]

Bonjour,

Je ne comprend pas comment on déduit, d'après la définition de
l'adhérence, que R est la fermeture de Q, et par la même que Q est dense
dans R.

Conceptuellement, j'ai un peu de mal... :-/

[Anonyme]

Oodini a écrit :
>
> Bonjour,
>
> Je ne comprend pas comment on déduit, d'après la définition de
> l'adhérence, que R est la fermeture de Q, et par la même que Q est dense
> dans R.

A partir de quelle définition ? C'est clair en voyant la fermeture de Q
comme les limites des suites convergentes dans R. Nein ?

--
Nico.

[Anonyme]

Nicolas Richard a écrit :
[color=green]
>>Je ne comprend pas comment on déduit, d'après la définition de
>>l'adhérence, que R est la fermeture de Q, et par la même que Q est dense
>>dans R.
>
> A partir de quelle définition ?[/color]

Un point x est dit adhérent à un sous-ensemble A d'un espace vectoriel
normé si toute boule ouverte de centre x contient un élément de A.
L'ensemble de tous les points adhérents à A s'appelle l'adhérence de ou
fermeture de A.

[Anonyme]

Oodini.

> Nicolas Richard a écrit :
>[color=green][color=darkred]
> >>Je ne comprend pas comment on déduit, d'après la définition de
> >>l'adhérence, que R est la fermeture de Q, et par la même que Q est dense
> >>dans R.
> > A partir de quelle définition ?[/color]
>
>
> Un point x est dit adhérent à un sous-ensemble A d'un espace vectoriel
> normé si toute boule ouverte de centre x contient un élément de
> A. L'ensemble de tous les points adhérents à A s'appelle l'adhérence
> de ou fermeture de A.[/color]

Réponse en plusieurs étapes ; ne lis pas tout d'un coup, essaie de
deviner la fin, ça sera mieux si tu trouves tout seul.

Étape 1. Il faut donc montrer que pour tout x dans R, tout boule
ouverte de centre x contient un rationnel. OK ?

--
Bé erre hue ixe eu elle, Bruxelles.

[Anonyme]

(babacio)

> Étape 1. Il faut donc montrer que pour tout x dans R, tout boule
> ouverte de centre x contient un rationnel. OK ?

Etape 2.
Une boule ouverte de centre x c'est un intervalle ouvert de la forme
]a,b[ avec a<b. Soit d = b-a le diamètre de cette boule.

--
Bé erre hue ixe eu elle, Bruxelles.

[Anonyme]

(babacio)

> (babacio)
>[color=green]
> > Étape 1. Il faut donc montrer que pour tout x dans R, tout boule
> > ouverte de centre x contient un rationnel. OK ?
>
> Etape 2.
> Une boule ouverte de centre x c'est un intervalle ouvert de la forme
> ]a,b[ avec a 1/d, possible car R
archimédien).

--
Bé erre hue ixe eu elle, Bruxelles.

[Anonyme]

babacio writes:

> (babacio)
>[color=green]
> > (babacio)
> >[color=darkred]
> > > Étape 1. Il faut donc montrer que pour tout x dans R, tout boule
> > > ouverte de centre x contient un rationnel. OK ?
> >
> > Etape 2.
> > Une boule ouverte de centre x c'est un intervalle ouvert de la forme
> > ]a,b[ avec a
> Étape 3. Soit n dans N tel que 1/n 1/d, possible car R
> archimédien).[/color]

Étape 4. Soit m le plus petit entier tel que (m/n) > a (il existe un
tel m de nouveau parce que R archimédien). Je te laisse montrer que
(m/n) < b.

À part ça ta question contenait le mot « conceptuellement ». Je t'ai
fait une preuve « mécanique », qui ne peut guère t'éclairer sur les
concepts... j'ai pris R comme donné, avec certaines propriétés, et la
preuve que j'ai faite c'est une preuve « réflexe » : toutes les étapes
sont mécaniques, si tu es bien entraîné à aucun moment tu n'as besoin
de penser. Je ne veux pas dire par là que c'est inutile, au contraire,
c'est très bon et très utile d'avoir des réflexes, plus tard ça aide à
penser.

Pour faire cette preuve j'ai eu besoin d'une propriété fondamentale de
R qui est que c'est un corps archimédien. Je ne pourrais pas la
démontrer sans refaire la construction de R comme complété de Q, mais
alors je n'aurais plus besoin de cette démonstration, le résultat de
densité que tu cherches étant une conséquence de cette construction.
Du point de vue « conceptuel » cette preuve te vole donc quelque
chose.

Sinon, ce dont tu dois être convaincu, c'est que tout réel s'approxime
aussi finement qu'on veut par un rationnel, et que le dire c'est
exactement la même chose que de dire « Q est dense dans R ».
--
Bé erre hue ixe eu elle, Bruxelles.

[Anonyme]

"Oodini" a écrit dans le message de
news:417bc8bb$0$296$626a14ce@news.free.fr...
> Nicolas Richard a écrit :
>[color=green][color=darkred]
> >>Je ne comprend pas comment on déduit, d'après la définition de
> >>l'adhérence, que R est la fermeture de Q, et par la même que Q est dense
> >>dans R.
> >
> > A partir de quelle définition ?[/color]
>
> Un point x est dit adhérent à un sous-ensemble A d'un espace vectoriel
> normé si toute boule ouverte de centre x contient un élément de A.
> L'ensemble de tous les points adhérents à A s'appelle l'adhérence de ou
> fermeture de A.[/color]

Je crois que la question était "à partir de quelle définition de R ?"
Il y a plusieurs façons de construire R, l'une d'elle étant de considérer le
complété de Q. Dans ce cas, le fait que l'adhérence de Q dans R est R tout
entier découle de sa définition.

--
Psyko Niko

[Anonyme]

Psyko Niko a écrit :
> Je crois que la question était "à partir de quelle définition de R ?"
> Il y a plusieurs façons de construire R, l'une d'elle étant de considérer le
> complété de Q. Dans ce cas, le fait que l'adhérence de Q dans R est R tout
> entier découle de sa définition.

Oui, non, en fait j'avais bien en tête "définition de l'adhérence" mais
c'est vrai qu'en voulant répondre après j'avais noté
"J'aurais pu te demander au passage : quelle définition de R ?"

Puis j'avais pas répondu parce que j'en étais arrivé à écrire "à mon
avis l'hypothèse utile doit être que R est archimédien" et je ne
retombais plus sur les 3 lignes à écrire pour m'en convaincre. J'ai
préféré la fermer (là vous dites un peu méchamment "t'aurais mieux fait
de continuer"). Il faut dire que là je suis plutôt plongé dans les
systèmes de racines d'une algèbre de Lie (ça c'est pour faire mon malin
avec des mots compliqués :>), et comme je suis qu'un gros glandeur, il
faut que je m'active un peu pour comprendre les principes de base :p (ça
c'est pour qu'on me plaigne "oh le pauvre il doit bosser").

--
Nico, ok je sors.

[Anonyme]

Nicolas Richard a écrit:
> Psyko Niko a écrit :
>[color=green]
>>Je crois que la question était "à partir de quelle définition de R ?"
>>Il y a plusieurs façons de construire R, l'une d'elle étant de considérer le
>>complété de Q. Dans ce cas, le fait que l'adhérence de Q dans R est R tout
>>entier découle de sa définition.[/color]
Restons simple, tout repose sur le fait que tout intervalle de longueur
strictement supérieur à 1 contient un entier, ce qui est immédiat si on
possède la partie entière d'un réel.

[Anonyme]

Yann Blanchard.

> Nicolas Richard a écrit:[color=green]
> > Psyko Niko a écrit :
> >
>[color=darkred]
>>> Je crois que la question était "à partir de quelle définition de
>>> R ?" Il y a plusieurs façons de construire R, l'une d'elle étant
>>> de considérer le complété de Q. Dans ce cas, le fait que
>>> l'adhérence de Q dans R est R tout entier découle de sa
>>> définition.[/color][/color]

> Restons simple, tout repose sur le fait que tout intervalle de
> longueur strictement supérieur à 1 contient un entier, ce qui est
> immédiat si on possède la partie entière d'un réel.

Oui, enfin ça n'est ni plus ni moins immédiat que le caractère
archimédien de R ; il y a un moment où il faut utiliser une propriété
sans doute évidente, mais qu'on doit bien prendre comme axiome.

--
Bé erre hue ixe eu elle, Bruxelles.