Convergence

[Anonyme]

Bonjour voici la suite que j'aie à étudier :
a(n) une suite réellle positive telle que
a(n+2)<=(a(n+1) + a(n) )/ 3

Mq a(n) converge vers 0

je considère le max(a(n+1), a(n)) et je dis que
a(n+2)<=(2/3) max(a(n+1), a(n)) )
de meme en régressant je veux montrer que a(n+2) est inférieur ou égal à
(2/3)^(n+1)max (?)
le problème c'est que je ne sais pas comment procéder pour trouver ce max
merci de votre aide

[Anonyme]

Gauss a écrit:
> Bonjour voici la suite que j'aie à étudier :
> a(n) une suite réellle positive telle que
> a(n+2)
> Mq a(n) converge vers 0
>
> je considère le max(a(n+1), a(n)) et je dis que
> a(n+2) de meme en régressant je veux montrer que a(n+2) est inférieur ou égal à
> (2/3)^(n+1)max (?)
> le problème c'est que je ne sais pas comment procéder pour trouver ce max
> merci de votre aide
>
>

max(a_0,a_1) ?

En effet, a_2 =< 2/3 * max (a_1,a_0)
Si pour tout k =< n, a_k =< 2/3^(k-1) * max(a_1,a_0)
alors a_n+1 =< 2/3 * max(a_n,a_n-1) =< 2/3 * (2/3)^(n-1) * max(a_1,a_0)
ie a_n+1 =< (2/3)^n * max(a_1,a_0) cqfd


--
albert

[Anonyme]

Merci albert !

"albert junior" a écrit dans le message
de news: 41728E77.3050709@hotmail.com...
> Gauss a écrit:[color=green]
>> Bonjour voici la suite que j'aie à étudier :
>> a(n) une suite réellle positive telle que
>> a(n+2)>
>> Mq a(n) converge vers 0
>>
>> je considère le max(a(n+1), a(n)) et je dis que
>> a(n+2)> de meme en régressant je veux montrer que a(n+2) est inférieur ou égal à
>> (2/3)^(n+1)max (?)
>> le problème c'est que je ne sais pas comment procéder pour trouver ce max
>> merci de votre aide
>
> max(a_0,a_1) ?
>
> En effet, a_2 = Si pour tout k = alors a_n+1 = ie a_n+1 =
>
> --
> albert
>[/color]

[Anonyme]

"Gauss" a écrit dans le message de news:
417286eb$0$27886$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> Bonjour voici la suite que j'aie à étudier :
> a(n) une suite réellle positive telle que
> a(n+2)
> Mq a(n) converge vers 0

Le plus simple est d'utiliser l'astuce suivante
Tu considères la suite auxiliaire u définie par
u(0)=a(0), u(1)=a(1) et pour n>=0
u(n+2) = [u(n+1) + u(n) ] /3

Par une récurrence double, tu montres que pour tout n>=0,
a(n) 0
Or l'inégalité 0 0

(en fait, on a même une majoration du type 0 = f(u(n))
Exemple : u(n+1)= (2*u(n))/(3*u(n)+1) avec u(0)=1
par récurrence que u(n) >= 1/3 (étudier u(n+1)-1/3) puis en montrant que
u(n+1) 1/3
(pas besoin de grosses théories)


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40 exos de sup et 20
exos de spé corrigés
supplémentaires
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