Convergence de suites

[Anonyme]

Bonjour,

Soit une suite (s)_n

Pourquoi si Somme(|s_k|²) cv implique Somme(s_k) cv?
--
Pascal

[Anonyme]

On Tue, 16 Nov 2004 23:07:19 +0100, Pascal wrote:

> Pourquoi si Somme(|s_k|²) cv implique Somme(s_k) cv?

Ne serait-ce pas plutôt le contraire ?

Sinon, avec un petit Cauchy-Schwartz, ça doit marcher, si mes vieux
souvenirs ne sont pas trop moisis.

--
Nicolas, intrigué

[Anonyme]

Nicolas Le Roux wrote:[color=green]
>> Pourquoi si Somme(|s_k|²) cv implique Somme(s_k) cv?
>
> Ne serait-ce pas plutôt le contraire ?[/color]

Ben en tout cas, ce sens-là est faux comme le montre l'exemple de
s_k = 1/k

Cela dit, le contraire est faux aussi... prendre par exemple
s_k = (-1)^k * 1/sqrt(k).
Si on suppose s_k > 0, alors le contraire devient vrai, mais ce n'est
pas une conséquence de Cauchy-Schwartz. Il suffit de dire que s_k tend
forcément vers 0 et donc à partir d'un certain rang, on a l'encadrement:
0 < s_k^2 < s_k
Voilà.

[Anonyme]

On Tue, 16 Nov 2004 23:29:08 +0100, Xavier Caruso wrote:

> Cela dit, le contraire est faux aussi... prendre par exemple
> s_k = (-1)^k * 1/sqrt(k).

Oui ok, jai considéré Somme(sk) converge comme "la série converge".

> Si on suppose s_k > 0, alors le contraire devient vrai, mais ce n'est
> pas une conséquence de Cauchy-Schwartz. Il suffit de dire que s_k tend
> forcément vers 0 et donc à partir d'un certain rang, on a l'encadrement:
> 0 < s_k^2 < s_k

C'est un peu con, c'est la démo que j'avais en tête, mais je me disais
que ça allait être chiant de démontrait que si la série convergeait,
alors la suite tendait forcément vers 0. On va mettre ça sur le compte
de la fin de journée.

--
Nicolas

[Anonyme]

Xavier Caruso wrote:

> Ben en tout cas, ce sens-là est faux comme le montre l'exemple de
> s_k = 1/k
>

Dans ce cas, je ne comprends pas la démo du prof.

On doit montrer que le produit de convolution d'une suite l^1(Z) avec
une suite l^2(Z) est une suite de l^2(Z), avec Z ensemble des entiers
relatifs.

Brievement, h est l^1(Z) équivaut à Somme(|h_k|) cv.
s est l^2(Z) équivaut à Somme(|s_k|^2) cv.

Et le prof écrit que :
|Somme(h_k.s_(n-k))| <= Somme(|h_k.s_(n-k)|) <= M.Somme|h_k|

C'est la dernière inégalité que je ne comprends pas.

--
Pascal

[Anonyme]

Pascal wrote:
> Et le prof écrit que :
> |Somme(h_k.s_(n-k))|
> C'est la dernière inégalité que je ne comprends pas.

Ben comme (s_k^2) est une série convergeante, elle tend vers 0 et
en particulier est bornée. On en déduit directement que la suite
(s_k) est également bornée, non ?

[Anonyme]

Xavier Caruso wrote:
> Pascal wrote:
>[color=green]
>> Et le prof écrit que :
>> |Somme(h_k.s_(n-k))| >
>> C'est la dernière inégalité que je ne comprends pas.
>
>
> Ben comme (s_k^2) est une série convergeante, elle tend vers 0 et
> en particulier est bornée. On en déduit directement que la suite
> (s_k) est également bornée, non ?[/color]

Ah oui, effectivement. Que je suis bête. Merci.

--
Pascal