Continuité

[Anonyme]

Bonjour,

je bute sur cet exercice : on définit un fonction à valeur de R dans R
et qui envoie tout irrationnel sur 0, et tout rationnel r sur 1/q, p/q
étant le représentant irréductible de r.
J'ai pu montrer assez facilement que f était discontinue en tout
rationnel, mais je dois également montrer que f est continue en tout
irrationnel ... et je bloque. Des pistes ... ?

merci d'avance

note : je suis en mpsi, cet exo devrait pouvoir se faire à partir de la
def de la continuité et (peut-être) de la notion de densité.


--
albert

[Anonyme]

"albert junior" a écrit dans le message
de news:
> je bute sur cet exercice : on définit un fonction à valeur de R dans R
> et qui envoie tout irrationnel sur 0, et tout rationnel r sur 1/q, p/q
> étant le représentant irréductible de r.
> J'ai pu montrer assez facilement que f était discontinue en tout
> rationnel, mais je dois également montrer que f est continue en tout
irrationnel ... et je bloque. Des pistes ... ?

Ah oui, un exo classique de Sup propose de montrer que:
"Soit r un irrationnel et une suite (p_n/q_n) "qui-va-bien " convergeant
vers r; alors
|p_n| --> +oo et |q_n| --> +oo "

ça devrait suffire ça non ?

[Anonyme]

Le Sat, 13 Nov 2004 21:52:41 +0100, albert junior
a écrit :

>Bonjour,
>
>je bute sur cet exercice : on définit un fonction à valeur de R dans R
>et qui envoie tout irrationnel sur 0, et tout rationnel r sur 1/q, p/q
>étant le représentant irréductible de r.
>J'ai pu montrer assez facilement que f était discontinue en tout
>rationnel, mais je dois également montrer que f est continue en tout
>irrationnel ... et je bloque. Des pistes ... ?

Dans mon souvenir, c'est lié au fait que si une suite de rationnels
(p_n/q_n) tend vers un irrationnel X, alors (q_n) n'est pas bornée.

En effet, si (q_n) était bornée, alors (p_n) aussi et la suite
(p_n/q_n) ne pourrait prendre qu'un nombre fini de valeurs (par le
principe des tiroirs). Donc il existerait une infinite d'entiers m
tels que p_m/q_m vaudrait p/q disons : à la limite m tend vers
l'infini, on aurait X=p/q. Contradiction.

Après, il faut bidouiller avec cette propriété pour montrer que ta
fonction f est continue en tout irrationnel.

[Anonyme]

Osiris a écrit:
> "albert junior" a écrit dans le message
> de news:
>[color=green]
>>je bute sur cet exercice : on définit un fonction à valeur de R dans R
>>et qui envoie tout irrationnel sur 0, et tout rationnel r sur 1/q, p/q
>>étant le représentant irréductible de r.
>>J'ai pu montrer assez facilement que f était discontinue en tout
>>rationnel, mais je dois également montrer que f est continue en tout
>
> irrationnel ... et je bloque. Des pistes ... ?
>
> Ah oui, un exo classique de Sup propose de montrer que:
> "Soit r un irrationnel et une suite (p_n/q_n) "qui-va-bien " convergeant
> vers r; alors
> |p_n| --> +oo et |q_n| --> +oo "
>
> ça devrait suffire ça non ?
>
>[/color]

lol ok. Avec ca c'est évident, je sais donc désormais ce que je dois
montrer ! Bon je m'en doutais un petit peu ... mais c'est toujours mieux
d'être sûr de la voie dans laquelle on se lance.

merci beaucoup, je vais tenter de montrer ca

--
albert

[Anonyme]

"albert junior" a écrit dans le message
de news: 41967419.6010301@hotmail.com...
> J'ai pu montrer assez facilement que f était discontinue en tout
> rationnel, mais je dois également montrer que f est continue en tout
> irrationnel ... et je bloque. Des pistes ... ?
>

Soit x0 irrationnel.
On veut prouver que :
pour tout epsilon >0, il existe éta >0 tel que
pour tout x dans lR,
|x-x0| | f(x) - f(x0) | 0.
L'intervalle ]0, 1/epsilon] contient bien entendu un nombre fini d'élèments
de lN.
Donc il n'y a qu'un nombre fini d'éléments de Q compris entre x0-1 et x0+1
s'écrivant sous la forme p/q avec p^q=1 et q 0, tel que ce dernier intervalle ne
contienne plus aucun rationnel p/q avec p^q=1 et q 1/epsilon, et donc dans ce
cas : f(x) = 1/q < 1/(1/epsilon) = epsilon.
Ce qui prouve bien que :
pour tout x dans ]x0-éta, x0+éta[,
| f(x) - f(x0) | = | f(x) | < epsilon ( f(x0)=0 car x0 est irrationnel).

[Anonyme]

Romain M a écrit:
> "albert junior" a écrit dans le message
> de news: 41967419.6010301@hotmail.com...
>[color=green]
>>J'ai pu montrer assez facilement que f était discontinue en tout
>>rationnel, mais je dois également montrer que f est continue en tout
>>irrationnel ... et je bloque. Des pistes ... ?
>>
>
>
> Soit x0 irrationnel.
> On veut prouver que :
> pour tout epsilon >0, il existe éta >0 tel que
> pour tout x dans lR,
> |x-x0| | f(x) - f(x0) |
> Bon alors soit epsilon > 0.
> L'intervalle ]0, 1/epsilon] contient bien entendu un nombre fini d'élèments
> de lN.
> Donc il n'y a qu'un nombre fini d'éléments de Q compris entre x0-1 et x0+1
> s'écrivant sous la forme p/q avec p^q=1 et q Comme x0 n'est pas dans Q, on peut donc réduire l'intervalle ]x0-1, x0+1[ en
> un intervalle ]x0-éta, x0+éta[ avec éta>0, tel que ce dernier intervalle ne
> contienne plus aucun rationnel p/q avec p^q=1 et q Ainsi, pour tout x dans ]x0-éta, x0+éta[, on a :
> - soit x n'est pas dans Q, et alors f(x) = 0
> - soit x est dans Q, et x=p/q avec p^q=1 et q > 1/epsilon, et donc dans ce
> cas : f(x) = 1/q Ce qui prouve bien que :
> pour tout x dans ]x0-éta, x0+éta[,
> | f(x) - f(x0) | = | f(x) |
>[/color]

Merci beaucoup pour cette très jolie démonstration.

--
albert