Continuité sur N

[Anonyme]

Bonjour

Une question élémentaire de continuité :

La fonction f : N --> R f(n) = exp(n)
(par exemple) est-elle continue sur N ?

Je sias que cela n'a aucun intérêt mais je me pose sans cesse ce genre de
question et comme les définitions ne sont pas homogènes d'un livre à l'autre
je ne suis jamais sûr ...

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

"Pierre Capdevila" , dans le message
(fr.education.entraide.maths:53990), a écrit :
> La fonction f : N --> R f(n) = exp(n)
> (par exemple) est-elle continue sur N ?

Oui. Toute fonction dont l'ensemble de départ est discret (ie muni de
la topologie discrète) est continue. De même si l'ensemble d'arrivée
est muni de la topologie grossière toute fonction est continue.

> Je sias que cela n'a aucun intérêt mais je me pose sans cesse ce genre
> de question et comme les définitions ne sont pas homogènes d'un livre à
> l'autre je ne suis jamais sûr ...

Je ne vois pas comment ça peut différer. Toutes les définitions sont en
général équivalentes à l'image réciproque d'un ouvert est un ouvert, et
comme dans N tous les sous-ensembles sont ouverts, la condition est
automatique.

[Anonyme]

"Pierre Capdevila" wrote

>Bonjour
>
>Une question élémentaire de continuité :
>
>La fonction f : N --> R f(n) = exp(n)
>(par exemple) est-elle continue sur N ?
>
>Je sias que cela n'a aucun intérêt mais je me pose sans cesse ce genre de
>question et comme les définitions ne sont pas homogènes d'un livre à l'autre
>je ne suis jamais sûr ...

je pense que oui... lim f(k_n) = f(lim k_n), car les deux limites
existent seulement si k_n est finalement constant.

Lukas Reck

[Anonyme]

Xavier Caruso a écrit

> Je ne vois pas comment ça peut différer. Toutes les définitions sont en
> général équivalentes à l'image réciproque d'un ouvert est un ouvert, et
> comme dans N tous les sous-ensembles sont ouverts, la condition est
> automatique.

Soit f : D --> R où D est une partie de R

J'ai par exemple un livre qui définit d'abord la notion de limite de f en un
point a.

Si a est adhérent à D, la limite est unique. Par contre si a est un point
isolé de D, et si on fait tendre x vers a en restant dans D\{a} alors tout
point de f(D) est limite de f en a, autrement dit f n'admet pas de limite en
a.

Le livre définit ensuite la continuité de f en a en disant que f est
continue en a ssi f admet une limite en a.

Là ça marche si on prend x dans D. Mais si on prend x dans D\{a}alors sur
les points isolés f n'admet pas de limite, donc f n'est pas continue.

Non ?

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

"Pierre Capdevila" , dans le message
(fr.education.entraide.maths:54011), a écrit :
> Si a est adhérent à D, la limite est unique. Par contre si a est un point
> isolé de D, et si on fait tendre x vers a en restant dans D\{a} alors tout
> point de f(D) est limite de f en a, autrement dit f n'admet pas de limite en
> a.

Quoi ? Pourquoi tu tiens à rester dans D\{a}. La définition classique de
la limite dépend en général fortement aussi de ce qui se passe en a. Tu
es sûr de ce que tu dis ?

> Le livre définit ensuite la continuité de f en a en disant que f est
> continue en a ssi f admet une limite en a.

Ah oui, on peut faire comme ça aussi, c'est vrai.

Dans ce cas, imagine la fonction de R dans R qui vaut toujours 0 sauf en 0
où elle vaut 1. D'après ta définition, elle est continue en 0, il me
semble. C'est pas génial.

[Anonyme]

Xavier Caruso a écrit
[color=green]
> > Si a est adhérent à D, la limite est unique. Par contre si a est un[/color]
point[color=green]
> > isolé de D, et si on fait tendre x vers a en restant dans D\{a} alors[/color]
tout[color=green]
> > point de f(D) est limite de f en a, autrement dit f n'admet pas de[/color]
limite en[color=green]
> > a.
>
> Quoi ? Pourquoi tu tiens à rester dans D\{a}. La définition classique de
> la limite dépend en général fortement aussi de ce qui se passe en a. Tu
> es sûr de ce que tu dis ?[/color]

Bien sûr. Pourquoi cet étonnement ? Il est fréquent qu'on s'intéresse à la
limite de f en a par valeurs différentes. C'est le cas par exemple lorsque f
est discontinue en a. Si tu n'exclus pas la valeur a tu risques de ne pas
trouver de limitre en a.
[color=green]
> > Le livre définit ensuite la continuité de f en a en disant que f est
> > continue en a ssi f admet une limite en a.
>
> Ah oui, on peut faire comme ça aussi, c'est vrai.
>
> Dans ce cas, imagine la fonction de R dans R qui vaut toujours 0 sauf en 0
> où elle vaut 1. D'après ta définition, elle est continue en 0, il me
> semble. C'est pas génial.[/color]

Effectivement, d'après cette définition, f est continue sur tout point isolé
de son ensemble de défiinion. C'est d'ailleurs pourquoi f est continue dès
que D est discret, comme tu l'as dit toit-même ?


--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

"Pierre Capdevila" , dans le message
(fr.education.entraide.maths:54013), a écrit :
> Bien sûr. Pourquoi cet étonnement ? Il est fréquent qu'on s'intéresse à la
> limite de f en a par valeurs différentes. C'est le cas par exemple lorsque f
> est discontinue en a. Si tu n'exclus pas la valeur a tu risques de ne pas
> trouver de limitre en a.

Certes, mais dans ce cas, on précise. Ce n'est pas la notion de limite
classique.
[color=green]
>> Dans ce cas, imagine la fonction de R dans R qui vaut toujours 0 sauf en 0
>> où elle vaut 1. D'après ta définition, elle est continue en 0, il me
>> semble. C'est pas génial.
>
> Effectivement, d'après cette définition, f est continue sur tout point
> isolé de son ensemble de défiinion.[/color]

Euh... 0 n'est pas isolé dans R.

[Anonyme]

Xavier Caruso a écrit

> Certes, mais dans ce cas, on précise. Ce n'est pas la notion de limite
> classique.

Ah bon ?
[color=green][color=darkred]
> >> Dans ce cas, imagine la fonction de R dans R qui vaut toujours 0 sauf[/color][/color]
en 0[color=green][color=darkred]
> >> où elle vaut 1. D'après ta définition, elle est continue en 0, il me
> >> semble. C'est pas génial.
> >
> > Effectivement, d'après cette définition, f est continue sur tout point
> > isolé de son ensemble de défiinion.[/color]
>
> Euh... 0 n'est pas isolé dans R.[/color]

Pardon, je me suis trompé.

D'après la définition f n'est pas continue en 0 car le livre dit que f est
continue en a si f admet une limite en a, sous-entendu pour a dans D tout
entier.

[Anonyme]

"Pierre Capdevila" , dans le message
(fr.education.entraide.maths:54025), a écrit :[color=green]
>> Certes, mais dans ce cas, on précise. Ce n'est pas la notion de limite
>> classique.
>
> Ah bon ?[/color]

Ben ouais.

> D'après la définition f n'est pas continue en 0 car le livre dit que f est
> continue en a si f admet une limite en a, sous-entendu pour a dans D tout
> entier.

« pour a dans D tout entier », ça veut dire quoi ?

[Anonyme]

> Soit f : D --> R où D est une partie de R
>
> J'ai par exemple un livre qui définit d'abord la notion de limite de f en
un
> point a.
>

Ce qui suit est incompréhensible sans la définition: pourquoi ne pas nous
donner texto ta définition (et seulement ta définition) de limite de f: D->R
en un point a adhérent à D, ainsi que ta définition de la continuité f en un
point a de D ?

[Anonyme]

Voilà la définition de limite

Soit D une partie de R et f : D --> R une fonction.
Soit A une partie de D et a un point adhérent à A.

On dit que f admet une limite en a, x restant dans A,
s'il existe un réel L tel que :
qqs epsilon > 0
il existe eta > 0
qqs x dans A
|x-a| |f(x) - L| a, x in A} = L
_____________

Voilà celle de continuité

Soit D une partie de R et f : D --> R une fonction.
Soit a un point de D.

On dit que f est continue en D si f admet une limite
en a.
_____________

C'est à dire en fait si lim f(x) {x->a, x in D} existe.

Avec ces deux définitions on démontre que si f
est continue en a alors lim f(x) {x->a, x in D} = f(a).

J'aimerais savoir quelle est la définition de la continuité
a plus communément utilisée aujourd'hui ?

Ces définitions me paraissent relativement cohérentes
et générales (car elles ne supposent pas en particulier
que D est un intervalle) mais j'ai un autre livre qui commence
par définir la continuité (à partir des epsilons) puis qui définit
a notion de limite à partir du prolongement par contionuité.


--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Xavier Caruso a écrit
> Ben ouais.

Pourtant, d'après mon prof de totpologie, la limite la plus utilisée est la
limite "par valeurs différentes". C'est à dire que pour chercher la limite
de f en a, on fait varier x dans A = D\{a}. C'est celle qui est par exemple
utilisée pour définir une fonction continue par morceaux ou encore une
fonction réglée réglée comme admettant une limite à gauche et à droite en
tout point.

> « pour a dans D tout entier », ça veut dire quoi ?

Dans ma réponse à Julien j'ai donné les définitions de mon livre concernant
la limite et la continuité. Cela sera plus clair.

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Bonjour

> Voilà la définition de limite
>
> Soit D une partie de R et f : D --> R une fonction.
> Soit A une partie de D et a un point adhérent à A.
>
> On dit que f admet une limite en a, x restant dans A,
> s'il existe un réel L tel que :
> qqs epsilon > 0
> il existe eta > 0
> qqs x dans A
> |x-a| |f(x) - L|
> et dans ce cas on écrit :
> lim f(x) {x->a, x in A} = L
> _____________
>

Jusque là pas de problème (ça correspond bien à la définition standard de
limite; en fait quand on parle de limite de f en a et que a appartient à D,
il est d'usage d'envisager A=D, tandis que les anglophones prendrons la
limite pointée A=D\{a}, mais bon peu importe).

> Voilà celle de continuité
>
> Soit D une partie de R et f : D --> R une fonction.
> Soit a un point de D.
>
> On dit que f est continue en D si f admet une limite
> en a.
> _____________
>
> C'est à dire en fait si lim f(x) {x->a, x in D} existe.
>
> Avec ces deux définitions on démontre que si f
> est continue en a alors lim f(x) {x->a, x in D} = f(a).
>

Tout à fait, si on prend dans ta définition de limite A=D. OK. Il ne s'agit
donc pas (et c'est de la que venait la confusion) d'"une" limite au sens "on
peut choisir A comme on veut" mais de la limite usuelle en France (A=D).

> J'aimerais savoir quelle est la définition de la continuité
> a plus communément utilisée aujourd'hui ?

Celle-ci. De façon équivalente, l'image réciproque de tout ouvert est un
ouvert, et franchement, il est conseillé de voir les définitions
topologiques (ça prend même pas 3 pages de n'importe quel bouquin de topo)
pour ne plus avoir de problèmes avec tout ça. (dans le cas métrique chaque
auteur donne sa formulation, toujours équivalente à la bonne_définition mais
ça embrouille quand on n'a pas de notion de topoG).

>
> Ces définitions me paraissent relativement cohérentes
> et générales (car elles ne supposent pas en particulier
> que D est un intervalle) mais j'ai un autre livre qui commence
> par définir la continuité (à partir des epsilons) puis qui définit
> a notion de limite à partir du prolongement par contionuité.
>

Oui ...