[analyse] continuité et monotonie

[Anonyme]

Bonjour à tous,

Que pensez-vous de l'affirmation suivante ?

Soit f une fonction continue sur R.
Alors il existe une partition (Di) (i dans N) d'intervalles de R tq la
restriction de f à chacun de ces intervalles soit une fonction continue et
monotone.

Il me semble que cette affirmation est juste (ou en tout cas, je ne vois
aucun contre-exemple) mais je ne trouve pas de démonstration élégante...
Quelqu'un a-t-il ça sous le coude ?

Merci d'avance

Pierre

[Anonyme]

"Rincevent" a écrit dans le message de news:
c1kg4b$hgc$1@news-reader2.wanadoo.fr...
> Bonjour à tous,
>
> Que pensez-vous de l'affirmation suivante ?
>
> Soit f une fonction continue sur R.
> Alors il existe une partition (Di) (i dans N) d'intervalles de R tq la
> restriction de f à chacun de ces intervalles soit une fonction continue et
> monotone.
>
> Il me semble que cette affirmation est juste (ou en tout cas, je ne vois
> aucun contre-exemple) mais je ne trouve pas de démonstration élégante...
> Quelqu'un a-t-il ça sous le coude ?
>

Oups... je viens juste de trouver un contre-exemple...

En effet soit f: x-> sin(1/x)*x sur R/{0} qu'on prolonge par continuité en
posant f(0) = 0
Une telle fonction est bien continue partout et pourtant on ne peut pas
trouver de partition (Di) convenant (même si leur nombre est dénombrable, la
longueur des segments Di au voisinage de 0 tend elle même vers 0...).

Tentons de généraliser :
quelle(s) condition(s) (la moins restrictive possible bien sur) doit-on
rajouter à l'énoncé precedent pour le rendre vrai ?
Pour l'instant je ne vois rien de simple se profiler... quelqu'un a une idée
?


> Merci d'avance
>
> Pierre
>
>
>
>

[Anonyme]

> Pour l'instant je ne vois rien de simple se profiler... quelqu'un a une
idée
> ?

Simple, très très simple... tu partitionnes avec les intervalles [x;x] =
{x}.

[Anonyme]

"Rincevent" a écrit dans le message de
news:c1kg4b$hgc$1@news-reader2.wanadoo.fr...
> Bonjour à tous,
>
> Que pensez-vous de l'affirmation suivante ?
>
> Soit f une fonction continue sur R.
> Alors il existe une partition (Di) (i dans N) d'intervalles de R tq la
> restriction de f à chacun de ces intervalles soit une fonction continue et
> monotone.
>
Il existe même des fonctions dérivables sur R qui ne sont monotones sur
aucun intervalle.

[Anonyme]

"panh" a écrit dans le message de news:
c1kqo3$1kbbfe$1@ID-143665.news.uni-berlin.de...
>
> "Rincevent" a écrit dans le message de
> news:c1kg4b$hgc$1@news-reader2.wanadoo.fr...[color=green]
> > Bonjour à tous,
> >
> > Que pensez-vous de l'affirmation suivante ?
> >
> > Soit f une fonction continue sur R.
> > Alors il existe une partition (Di) (i dans N) d'intervalles de R tq la
> > restriction de f à chacun de ces intervalles soit une fonction continue[/color]
et[color=green]
> > monotone.
> >
> Il existe même des fonctions dérivables sur R qui ne sont monotones sur
> aucun intervalle.
>[/color]

.... un exemple ?
Ca revient à dire que sa dérivée change de signe *constament* (ie il
n'existe aucun intervalle sur lequel la dérivée est soit positive soit
négative).
En faisant intervenir le théorème des valeurs intermédiaires, on en déduit
donc que f ' n'est pas continue... mais je n'arrive pas à trouver de cas
concret... ce doit être tout bête mais je suis un peu rouillé en maths


Pierre

[Anonyme]

> ... un exemple ?

Je confirme que ça existe, mais c'est moche et j'ai oublié. Ca n'a pour seul
intérêt que de faire des exos compliqués...

> Ca revient à dire que sa dérivée change de signe *constament* (ie il
> n'existe aucun intervalle sur lequel la dérivée est soit positive soit
> négative).
> En faisant intervenir le théorème des valeurs intermédiaires, on en
déduit
> donc que f ' n'est pas continue... mais je n'arrive pas à trouver de cas
> concret... ce doit être tout bête mais je suis un peu rouillé en maths

Non: f' n'est continue sur aucun intervalle, mais l'ensemble de ses points
de conitnuité est dense (comme pour toute dérivée).

--
Maxi

[Anonyme]

"Rincevent" a écrit dans le message de
news:c1l0k6$p7l$1@news-reader3.wanadoo.fr...
>
> "panh" a écrit dans le message de news:
> c1kqo3$1kbbfe$1@ID-143665.news.uni-berlin.de...[color=green]
> >
> > "Rincevent" a écrit dans le message de
> > news:c1kg4b$hgc$1@news-reader2.wanadoo.fr...[color=darkred]
> > > Bonjour à tous,
> > >
> > > Que pensez-vous de l'affirmation suivante ?
> > >
> > > Soit f une fonction continue sur R.
> > > Alors il existe une partition (Di) (i dans N) d'intervalles de R tq la
> > > restriction de f à chacun de ces intervalles soit une fonction[/color][/color]
continue
> et[color=green][color=darkred]
> > > monotone.
> > >
> > Il existe même des fonctions dérivables sur R qui ne sont monotones sur
> > aucun intervalle.
> >[/color]
>
> ... un exemple ?
> Ca revient à dire que sa dérivée change de signe *constament* (ie il
> n'existe aucun intervalle sur lequel la dérivée est soit positive soit
> négative).
> En faisant intervenir le théorème des valeurs intermédiaires, on en[/color]
déduit
> donc que f ' n'est pas continue... mais je n'arrive pas à trouver de cas
> concret... ce doit être tout bête mais je suis un peu rouillé en maths
Si ce sujet vous intéresse il a été traité sur fr.sci.maths le 21 mai 1999
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Auteur Shiva
Objet Conjecture
Date 21 mai 1999