Continuité en dimension finie

[Anonyme]

Problème : Soit E=C([0,1],R) muni de la norme du sup.
Soit F un sev fermé de E tq tte fonction de F est de classe C1.
1- mq T : f -> f ' de F dans E est continue
2 - mq la boule unité fermée de F est équicontinue
3 - en déduire que F est de dimension finie


la question 3 est simple lorqu'on a fait les deux premières questions il
suffit juste alors d'appliquer successivement le théorème d'Ascoli et la
théorème de Riesz et on en conclut que F est de dim finie

Mais je bloque sur les question 1 et 2

- Pour la question 1, pour montrer que T est continue j'avais pensé à :
on prend une suite d'opérateurs linéaires continus Tn : f ->Tn(f) : =
[f(x+1/n) - f(x)] / (1/n).
(c'est clairement linéaire continue car f est dans E)

on a Tn(f) --> T(f)= f '
donc ensuite par un corollaire du cours j'en conclus que la suite
d'opérateurs T est continue.

Mais mon problème c'est que dans la suite Tn(f) que j'ai choisie le x+1/n
peut etre plus grand que 1 et donc f(x+1/n) n'appartient plus à E. Que puis
corriger dans ma suite choisie afin d'éliminer ce problème ????


- Pour la question 2 , pour monter l'équicontinuité j'avais pensais à :
pr tt epsilon (eps) , tt f dans B(0,1) de F et tt x et y dans R on part de
||f(x)-f(y)||<eps.
et on veut montrer qu'il existe un êta tq ||x-y||<êta (1)

j'avais pensé utiliser la formule des accroissement finis mais j'obtiens :
||f(x)-f(y)||< sup (f '(x))* ||x-y||
mais cela ne me permet pas de conclure qu'il existe êta vérifiant (1)

Comment puis je faire pour avoir l'inégalité (1)???

Merci pour vos réponses
July