Famille de fermés localement finie

[Anonyme]

Bonjour.

Etant donné un espace topologique (X, tau) et (F_i)_{i \in I} une
famille de fermés de X, on dit que cette famille est localement finie
lorsque :
pour tout x dans X, il existe V voisinage de x tel que V rencontre
uniquement un nombre fini de F_i.
Soit (F_i) une telle famille, et F la réunion des F_i.
On me demande de montrer que F est fermé en montrant que son
complémentaire est voisinage de chacun de ses points.

Si quelqu'un peut m'aider...

La question précédente consistait à montrer que si on prend une famille
(F_i) de fermés localement finie, et une famille de fermés (F_i') telle
que pour tout i, F_i' est inclus dans F_i, alors la famille de fermés
(F_i') est également localement finie.

Merci.

[Anonyme]

Romain M wrote:
> Bonjour.
>
> Etant donné un espace topologique (X, tau) et (F_i)_{i \in I} une
> famille de fermés de X, on dit que cette famille est localement finie
> lorsque :
> pour tout x dans X, il existe V voisinage de x tel que V rencontre
> uniquement un nombre fini de F_i.
> Soit (F_i) une telle famille, et F la réunion des F_i.
> On me demande de montrer que F est fermé en montrant que son
> complémentaire est voisinage de chacun de ses points.
>
> Si quelqu'un peut m'aider...
>
> La question précédente consistait à montrer que si on prend une famille
> (F_i) de fermés localement finie, et une famille de fermés (F_i') telle
> que pour tout i, F_i' est inclus dans F_i, alors la famille de fermés
> (F_i') est également localement finie.
>
> Merci.
>
>

Soit x un point hors de F. Il existe un voisinage V de x qui ne
rencontre qu'un nombre fini de F_i.

Comment exprimer F inter V en fonction de ceux-là ?

Raisonner dans la topologie induite sur V (que peut-on dire de F
inter V ?)

Remarque : un ouvert de V est aussi un ouvert de X, ouisque V est
lui-même ouvert...

Ca marche bien

Hib.

[Anonyme]

Hibernatus a formulé ce jeudi :
> Soit x un point hors de F. Il existe un voisinage V de x qui ne rencontre
> qu'un nombre fini de F_i.
>
> Comment exprimer F inter V en fonction de ceux-là ?

F inter V = ( union des F_i ) inter V
= union_{sur i dans I} ( F_i inter V)
= union_{sur j dans J} ( F_j inter V)
(où J est une partie finie de I)
= ( union_{j \in J} F_i ) inter V

> Raisonner dans la topologie induite sur V (que peut-on dire de F inter V ?)

Comme une union *finie* de fermés est un fermé, on en déduit que (F
inter V) est un fermé de V.

Bon après je suis pas trop sûr de mon coup :
V n'est a priori ni ouvert ni fermé, mais vu la définition d'un
voisinage (x \in O \subset V, avec O ouvert), on peut se ramener à V
ouvert.
x est dans V mais pas dans F, donc :
x appartient à V \ (F inter V) qui est inclus dans X \ F.
Et V \ (F inter V) est un ouvert de V, donc ouvert tout court (de X)
car V est ouvert.
Ainsi X \ F est un voisinage de x.

C'est bon ?
Merci.

[Anonyme]

Romain M wrote:
> Hibernatus a formulé ce jeudi :
>[color=green]
>> Soit x un point hors de F. Il existe un voisinage V de x qui ne
>> rencontre qu'un nombre fini de F_i.
>>
>> Comment exprimer F inter V en fonction de ceux-là ?
>
>
> F inter V = ( union des F_i ) inter V
> = union_{sur i dans I} ( F_i inter V)
> = union_{sur j dans J} ( F_j inter V)
> (où J est une partie finie de I)
> = ( union_{j \in J} F_i ) inter V
>
>> Raisonner dans la topologie induite sur V (que peut-on dire de F inter
>> V ?)
>
>
> Comme une union *finie* de fermés est un fermé, on en déduit que (F
> inter V) est un fermé de V.[/color]

C'est l'argument clé.

> Bon après je suis pas trop sûr de mon coup :
> V n'est a priori ni ouvert ni fermé, mais vu la définition d'un
> voisinage (x \in O \subset V, avec O ouvert), on peut se ramener à V
> ouvert.

Oui. J'ai l'habitude (heureuse ? malheureuse ?) de ne travailler
qu'avec des voisinages ouverts

> x est dans V mais pas dans F, donc :
> x appartient à V \ (F inter V) qui est inclus dans X \ F.
> Et V \ (F inter V) est un ouvert de V, donc ouvert tout court (de X) car
> V est ouvert.

Voilà.

> Ainsi X \ F est un voisinage de x.

Donc il est voisinage de tous ses éléments, ce qui en fait bien un
ouvert.

> C'est bon ?

Bien joué.

[Anonyme]

Après mure réflexion, Hibernatus a écrit :[color=green]
>> C'est bon ?
>
> Bien joué.[/color]

Merci beaucoup.