Mesure sigma-finie et fonctions intégrables

[Anonyme]

Bonjour,
j'ai l'exercice suivant :

(Oméga, A, mu) un espace mesuré.
On suppose qu'il existe une fonction f : Oméga -> lR*+ intégrable.
On pose :
Oméga_n = { w \in Oméga, tels que f(w) > 1/n }
On me demande de montrer que Oméga_n est de mesure finie.

D'abord, ce n'est pas écrit dans la question, mais avant de parler de la
mesure de Oméga_n, il faut dire pourquoi Oméga_n est dans la tribu A, non ?
Bon, pour ca, pas de problème (Oméga_n = f^-1( ]0,1/n[ ), et ]0,1/n[ est
dans la tribu borélienne).

Mais je ne vois pas pourquoi Oméga_n est de mesure finie.
Quelqu'un aurait une idée ?
(le but de l'exercice est de prouver que mu est sigma-finie).
Merci de votre aide.

[Anonyme]

Romain M wrote:
> Bonjour,
> j'ai l'exercice suivant :
>
> (Oméga, A, mu) un espace mesuré.
> On suppose qu'il existe une fonction f : Oméga -> lR*+ intégrable.
> On pose :
> Oméga_n = { w \in Oméga, tels que f(w) > 1/n }
> On me demande de montrer que Oméga_n est de mesure finie.
>
> D'abord, ce n'est pas écrit dans la question, mais avant de parler de la
> mesure de Oméga_n, il faut dire pourquoi Oméga_n est dans la tribu A, non ?
> Bon, pour ca, pas de problème (Oméga_n = f^-1( ]0,1/n[ ), et ]0,1/n[ est
> dans la tribu borélienne).
>
> Mais je ne vois pas pourquoi Oméga_n est de mesure finie.
> Quelqu'un aurait une idée ?

Il faut montrer que la fonction caracteristique de Omega_n est
integrable. Il faut donc trouver une majoration de cette fonction
caracteristique en fonction de |f(w)|. Fin.
Amities,
Olivier

[Anonyme]

Effectivement, la fonction caractéristique de Oméga_n est positive est
majorée par n*f qui est intégrable.

Le fait qu'un élèment d'une tribu soit de mesure finie si et seulement si sa
fonction caractéristique est intégrable ne figure même pas dans mon cours,
c'et bien triste... certes c'est évident, mais quand on ne l'a jamais vu
c'est pas évident d'y penser tout seul...

Merci pour ton aide.
Je retiendrais cette petite astuce, qui à mon avis est utile dans la
pratique.

"Olve" a écrit dans le message de news:
417b8b5b$0$31770$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> Romain M wrote:[color=green]
> > Bonjour,
> > j'ai l'exercice suivant :
> >
> > (Oméga, A, mu) un espace mesuré.
> > On suppose qu'il existe une fonction f : Oméga -> lR*+ intégrable.
> > On pose :
> > Oméga_n = { w \in Oméga, tels que f(w) > 1/n }
> > On me demande de montrer que Oméga_n est de mesure finie.
> >
> > D'abord, ce n'est pas écrit dans la question, mais avant de parler de la
> > mesure de Oméga_n, il faut dire pourquoi Oméga_n est dans la tribu A,[/color]
non ?[color=green]
> > Bon, pour ca, pas de problème (Oméga_n = f^-1( ]0,1/n[ ), et ]0,1/n[ est
> > dans la tribu borélienne).
> >
> > Mais je ne vois pas pourquoi Oméga_n est de mesure finie.
> > Quelqu'un aurait une idée ?
>
> Il faut montrer que la fonction caracteristique de Omega_n est
> integrable. Il faut donc trouver une majoration de cette fonction
> caracteristique en fonction de |f(w)|. Fin.
> Amities,
> Olivier
>[/color]

[Anonyme]

> Le fait qu'un élèment d'une tribu soit de mesure finie si et seulement si sa
> fonction caractéristique est intégrable ne figure même pas dans mon cours,

C'est un peu normal, mais il s'agit effectivement d'une technique qui est
utilisée de façon extrêmement fréquente. L'inégalité de Bienaime-Chebyshev
par exemple (dite aussi "la loi faible des grands nombres" ?) en est un
exemple. L'autre aspect de cette technique consiste a essayer d'approcher
une fonction caracteristique par des fonctions "autorisées" sur lesquelles
on a des renseignements : theoreme de Tietze-Urysohn, de Stone-Weierstrass,
crible ... Bref : il faut garder un oeil sur l'approche fonction caracteristique
quand on a un ensemble -- et sur l'approche ensembliste quand on a une
fonction ! puisque l'intégrale de Lebesgue est construite en regardant les
ensembles {w / a<f(w)<b}.
Bon courage,
Amities,
Olivier