Construction de cercle ...

[Anonyme]

Bonjour à tous,

Je vous soumets ce problème dans la mesure ou je ne sais comment
l'aborder : (niveau Tale S à priori)

Soit A(2;0) , R(0;2) deux points du plan muni d'un repère orthonormé
(O,i,j).
Soit également la droite D:y=4 et le cercle C(A;sqrt(3))

Il s'agit de construire le cercle tangent à D, tangent à C et passant
par R. (Deux solutions possibles visiblement)

Des idées, des méthodes, je prends tout.
Merci d'avance
M.MAUNIER

[Anonyme]

Astalavista a écrit :
> Bonjour à tous,

Bonjour,

> Je vous soumets ce problème dans la mesure ou je ne sais comment
> l'aborder : (niveau Tale S à priori)

à priori ???

>
> Soit A(2;0) , R(0;2) deux points du plan muni d'un repère orthonormé
> (O,i,j).
> Soit également la droite D:y=4 et le cercle C(A;sqrt(3))
>
> Il s'agit de construire le cercle tangent à D, tangent à C et passant
> par R. (Deux solutions possibles visiblement)
>

4 solutions : deux ou C est extérieur au cercle cherché, et deux où C
est intérieur au cercle cherché.

Comme on te parle de coordonnées et de repère, on attend sans
doute une résolution algébrique...
c'est à dire (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
Ya plus qu'à écrire les conditions.

le cercle passe par R(0,2) : (0 - a)^2 + (2 - b)^2 = r^2

le cercle est tangent à C : le système
{ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 [1] }
{ (x - 2)^2 + y^2 = 3 [2] }

a une solution double (deux points d'intersection confondus)
donc un certain discriminant = 0

on fait pareil pour la dernière condition avec le système :
{ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 }
{ y = 4 }

on obtient alors 3 équations à 3 inconnues a,b,r que l'on résoud.
Brrr. Bon courage.

Une autre astuce pour essayer de simplifier cette horreur c'est
de ne chercher que le centre (a,b) du cercle.

Le cercle passe par R et est tangent à D :
distance de (a,b) à la droite = distance de (a,b) à R
1ère équation du second degré en a et b

Le cercle passe par R et est tangent au cercle C de rayon r = sqrt(3)
(distance de (a,b) à A +/- r) = distance de (a,b) à R
2ème équation du second degré en a et b

Résoudre. un peu plus simple.

Ah oui, hors sujet vu l'énoncé, mais juste comme ça :
La construction des cercles cherchés est possible à la règle
et au compas. L'astuce consiste à transformer la figure par
une inversion de pôle R qui conserve C.
le cercle cherché est transformé en une droite (il passe par R)
la droite D est transformée en un cercle passant par R.
Le problème revient alors à construire une droite tangente à
deux cercles donnés, ce qui est élémentaire.
On retransforme par l'inversion les 4 droites trouvées en les
4 cercles cherchés.

Amicalement.

--
philippe
(chephip at free dot fr)

[Anonyme]

Philippe 92 disait ceci le 29.01.2005 10:20:
>
> Ah oui, hors sujet vu l'énoncé, mais juste comme ça :
> La construction des cercles cherchés est possible à la règle
> et au compas. L'astuce consiste à transformer la figure par
> une inversion de pôle R qui conserve C.
> le cercle cherché est transformé en une droite (il passe par R)
> la droite D est transformée en un cercle passant par R.
> Le problème revient alors à construire une droite tangente à
> deux cercles donnés, ce qui est élémentaire.
> On retransforme par l'inversion les 4 droites trouvées en les
> 4 cercles cherchés.
>
> Amicalement.
>

Je n'avais pas pensé à l'inversion de pôle... Pour le reste, finalement
les calculs n'étaient pas si effrayants.

Merci beaucoup
Cordialement
M.MAUNIER