CNS existence d'une fonction réciproque

[Anonyme]

Bonjour,

Pour qu'une fonction f définie de I vers J admette une fonction réciproque,
qu'elle la condition nécessaire et suffisante ?

Doit-elle être injective ou bien bijective ?

J'ai touvé un site qui indique que l'injectivité est nécessaire et
suffisante.
Seulement, si f est injective et ne décrit pas tout l'ensemble image J,
alors la réciproque ne sera pas définie sur J entièrement, n'est-ce pas ?

Donc ma question revient à demander si lorsque l'on parle de la réciproque
de f : I -> J, on sous entend forcément que cette réciproque est définie de
J vers I.

Merci d'avance.

Nicolas.

[Anonyme]

> Seulement, si f est injective et ne décrit pas tout l'ensemble image J,
> alors la réciproque ne sera pas définie sur J entièrement, n'est-ce pas ?

Tu te ramènes alors donc à f: I->f(J) qui est surjective (on procède souvent
de cette façon) ... donc en fait tout ça n'a pas vraiment d'importance, mais
en général quand on parle de réciproque la fonction est bijective, sinon on
te précise ...

[Anonyme]

> Tu te ramènes alors donc à f: I->f(J) qui est surjective (on procède
souvent
> de cette façon) ... donc en fait tout ça n'a pas vraiment d'importance,
mais
> en général quand on parle de réciproque la fonction est bijective, sinon
on
> te précise ...

Merci beaucoup.
C'est pour la rédaction d'une leçon de Capes, et il convient donc d'être
pointilleux ;o) ...

[Anonyme]

En fait, si X et Y sont des ensembles, f: X -> Y, f est injective ssi f est
inversible à gauche (i.e. il existe g: Y -> X tq gof=id) et f est surjective
ssi f est inversible à droite (i..e. il existe g: Y -> X tq fog=id).
Et donc f est inversible à gauche et à droite ssi f est bijective. Les
inverses à gauche et à droite sont alors égaux.

Quand tu poses la question de la définition de l'inverse à gauche, g est
défini sur tout Y, mais seules les valeurs sur f(X) sont imposées, g n'est
donc pas unique.

En espérant que cela aura répondu à ta question

[Anonyme]

On Tue, 1 Jun 2004 18:47:44 +0200, "SLO" wrote:

>Donc ma question revient à demander si lorsque l'on parle de la réciproque
>de f : I -> J, on sous entend forcément que cette réciproque est définie de
>J vers I.

Ben... tout est question de subtilité entre les mots "application" et
"fonction".
Stricto sensu, une application est une fonction définie sur tout
l'intervalle de départ. Ainsi,
f: R -> R
x |-> 1/x
est une fonction ; sa restriction à R* est une application.

Le problème, c'est qu'on travaille assez fréquemment dans des domaines
où on ne s'intéressent pas aux fonctions qui ne sont pas définies sur
tout l'ensemble de départ, i.e. qui ne sont pas des applications. Du
coup, dans ces domaines, on peut se permettre de ne pas faire la
distinction entre "fonction" et "application".

g: R -> R
x |-> exp (x)

est une application injective ; si j'ai bien tout suivi, elle admet
une fonction réciproque,
g^-1 : R -> R
x |-> ln (x)
qui n'est pas définie partout -- et n'est donc pas une application.

Donc g n'admet pas d'application réciproque.

--

FLL, Epagneul Breton