"Yves De Cornulier" a écrit dans le message de
news:
conljt$25eg$1@nef.ens.fr...
> "Gauss" , dans le message (fr.education.entraide.maths:59927), a écrit :[color=green]
>> Soit f une fonction dérivable de R dans R . On suppose que l'ensemble des
>> réels x
>> tels que f'(x)>0 est dense dans R . La fonction f est-elle strictement
>> croissante ?>
> En fait la réponse est non. J'avais posé il y a un an une question
> analogue sur un autre forum, et je copie la réponse que j'avais eue:
>
> "
> Soit r_n une énumération des rationnels de [0,1], et
> f(x)=\sum 2^{-n} (x-r_n)^{1/3}
> En tous les rationnels, f est de dérivée infinie. En fait, on vérifie
> (c'est un exercice de Bourbaki) que f a en chaque point x une dérivée
> finie ou infinie, suivant la finitude de la somme \sum 2^{-n}
> (x-r_n)^{-2/3}.
>
> f est un homéomorphisme de [0,1] sur un intervalle I, sa réciproque g est
> alors dérivable partout et g' est nulle sur un ensemble dense (donc en
> particulier en tous ses points de continuité). Cependant, g n'est pas
> décroissante.
> "
>
> Voilà. Maintenant, en faisant ax-g(x) pour a petit (fixé), tu obtiens une
> fonction dérivable qui n'est pas croissante, et qui a une dérivée
> strictement positive sur un ensemble dense.
>
> --
> Yves
>
>[/color]
merci beaucoup Yves