Une petite question sur une fonction dérivable

Forum d'archive d'entraide mathématique
Anonyme

Une petite question sur une fonction dérivable

par Anonyme » 30 Avr 2005, 20:01

Bonjour je me pose la question suivante mais je peine à y apporter une
réponse votre aide me serait très précieuse merci d'avance...

Soit f une fonction dérivable de R dans R . On suppose que l'ensemble des
réels x
tels que f'(x)>0 est dense dans R . La fonction f est-elle strictement
croissante ?



Anonyme

Re: Une petite question sur une fonction dérivable

par Anonyme » 30 Avr 2005, 20:01

"Gauss" a écrit dans le message de news:
41ae5d6f$0$16354$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> Bonjour je me pose la question suivante mais je peine à y apporter une
> réponse votre aide me serait très précieuse merci d'avance...
>
> Soit f une fonction dérivable de R dans R . On suppose que l'ensemble des
> réels x
> tels que f'(x)>0 est dense dans R . La fonction f est-elle strictement
> croissante ?
>
>
>je précise car ce n'est peut etre pas lisible il s'agit de l'ensemble des
>réels x tq f ' (x) >0 est dense dans R.

Anonyme

Re: Une petite question sur une fonction dérivable

par Anonyme » 30 Avr 2005, 20:01

>>je précise car ce n'est peut etre pas lisible il s'agit de l'ensemble des[color=green]
>>réels x tq f ' (x) >0 est dense dans R.
[/color]

Ce n'est pas lisible car tu ne sais pas répondre à un message.

Les > servent à écrire les messages que tu cites. Tu ne dois pas écrire
après les > quand tu réponds à un message!

--
Yves

Anonyme

Re: Une petite question sur une fonction dérivable

par Anonyme » 30 Avr 2005, 20:01

"Yves De Cornulier" a écrit dans le message de
news: comhe9$1vlc$1@nef.ens.fr...[color=green][color=darkred]
>>>je précise car ce n'est peut etre pas lisible il s'agit de l'ensemble des
>>>réels x tq f ' (x) >0 est dense dans R.
[/color]
>
> Ce n'est pas lisible car tu ne sais pas répondre à un message.
>
> Les > servent à écrire les messages que tu cites. Tu ne dois pas écrire
> après les > quand tu réponds à un message!
>
> --
> Yves[/color]

désolé je le saurai pour la prochaine fois
si tu asune idée pour mon exo je serais intéressé..;

Anonyme

Re: Une petite question sur une fonction dérivable

par Anonyme » 30 Avr 2005, 20:01

"Gauss" , dans le message (fr.education.entraide.maths:59927), a écrit :
> Soit f une fonction dérivable de R dans R . On suppose que l'ensemble des
> réels x
> tels que f'(x)>0 est dense dans R . La fonction f est-elle strictement
> croissante ?


En fait la réponse est non. J'avais posé il y a un an une question
analogue sur un autre forum, et je copie la réponse que j'avais eue:

"
Soit r_n une énumération des rationnels de [0,1], et
f(x)=\sum 2^{-n} (x-r_n)^{1/3}
En tous les rationnels, f est de dérivée infinie. En fait, on vérifie
(c'est un exercice de Bourbaki) que f a en chaque point x une dérivée
finie ou infinie, suivant la finitude de la somme \sum 2^{-n}
(x-r_n)^{-2/3}.

f est un homéomorphisme de [0,1] sur un intervalle I, sa réciproque g est
alors dérivable partout et g' est nulle sur un ensemble dense (donc en
particulier en tous ses points de continuité). Cependant, g n'est pas
décroissante.
"

Voilà. Maintenant, en faisant ax-g(x) pour a petit (fixé), tu obtiens une
fonction dérivable qui n'est pas croissante, et qui a une dérivée
strictement positive sur un ensemble dense.

--
Yves

Anonyme

Re: Une petite question sur une fonction dérivable

par Anonyme » 30 Avr 2005, 20:01

"Yves De Cornulier" a écrit dans le message de
news: conljt$25eg$1@nef.ens.fr...
> "Gauss" , dans le message (fr.education.entraide.maths:59927), a écrit :[color=green]
>> Soit f une fonction dérivable de R dans R . On suppose que l'ensemble des
>> réels x
>> tels que f'(x)>0 est dense dans R . La fonction f est-elle strictement
>> croissante ?

>
> En fait la réponse est non. J'avais posé il y a un an une question
> analogue sur un autre forum, et je copie la réponse que j'avais eue:
>
> "
> Soit r_n une énumération des rationnels de [0,1], et
> f(x)=\sum 2^{-n} (x-r_n)^{1/3}
> En tous les rationnels, f est de dérivée infinie. En fait, on vérifie
> (c'est un exercice de Bourbaki) que f a en chaque point x une dérivée
> finie ou infinie, suivant la finitude de la somme \sum 2^{-n}
> (x-r_n)^{-2/3}.
>
> f est un homéomorphisme de [0,1] sur un intervalle I, sa réciproque g est
> alors dérivable partout et g' est nulle sur un ensemble dense (donc en
> particulier en tous ses points de continuité). Cependant, g n'est pas
> décroissante.
> "
>
> Voilà. Maintenant, en faisant ax-g(x) pour a petit (fixé), tu obtiens une
> fonction dérivable qui n'est pas croissante, et qui a une dérivée
> strictement positive sur un ensemble dense.
>
> --
> Yves
>
>[/color]
merci beaucoup Yves

 

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