CENTRE DE GRAVITE d'un demi cercle.

[Anonyme]

Comment connaitre la position du centre de gravité d'un demi disque homogène
Si possible avec les outils de terminale S

Merci

[Anonyme]

On Fri, 29 Oct 2004 13:12:27 +0200, "Jérôme"
wrote:

>Comment connaitre la position du centre de gravité d'un demi disque homogène
>Si possible avec les outils de terminale S
>
>Merci
on découpe le demi-cercle en n triangles équilatéraux de sommets O
(centre du demi-cercle)
repère d'origine O et axe des abscisses le diamètre frontière
chacun a un centre de gravité G_k (k=1 à n )
de coordonnées (2/3)Rcos((pi/n)(k-1/2)) et remplcer cos par sin pour
l'ordonnée
et on considère l'isobarycentre des G_k : g_n d'affixe u_n+iv_n
qui se calcule via la sommation des (exp(ipi/n))^k

soit (4R/3)i/(2nsin(pi/2n)) donc u_n=0 (attendu)
et bon là c'est peut être un peu osé en TS
on dit que la limite de g_n c'est justemment le centre de gravité G
du demi-disque
qui a pour coordonnées (0,4R/(3pi))

*****************
http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )
*****************

[Anonyme]

"Jérôme" a écrit dans le message de news:
xApgd.10086$1p.8340@nntpserver.swip.net...
> Comment connaitre la position du centre de gravité d'un demi disque
homogène
> Si possible avec les outils de terminale S

Imaginez le demi-disque de diamètre AB, de rayon 1 pour faire simple,
partagé en fins rectangles dont la longueur est parallèle à AB, et la
largeur très petite. Le centre de gravité cherché est le barycentre de tous
ces rectangles affectés chacun de leur aire.

A la distance x du centre O (0<=x<=1), le rectangle a pour longueur
2*sqrt(1-x^2) et une largeur très petite.

La distance du centre de gravité à O est
int (2*x*sqrt(1-x^2), x= 0..1) / (Pi/2), puisque Pi/2 est la surface totale
du demi-disque.

En écrivant la fonction à intégrer sous la forme (1-x^2)^(1/2) * (2*x), on
voit qu'on peut trouver une primitive au niveau de Terminale S.

Je vous laisse terminer.

Daniel

[Anonyme]

il semble que ce genre de problème ait été traité par archimède qui si je ne
m'abuse ne connaissait pas les intégrales ?

"Jérôme" a écrit dans le message de
news:xApgd.10086$1p.8340@nntpserver.swip.net...
> Comment connaitre la position du centre de gravité d'un demi disque
homogène
> Si possible avec les outils de terminale S
>
> Merci
>
>

[Anonyme]

Bonjour,

Jérôme a écrit:
> il semble que ce genre de problème ait été traité par archimède qui si je ne
> m'abuse ne connaissait pas les intégrales ?
>[color=green]
>>Comment connaitre la position du centre de gravité d'un demi disque
>> homogène
>>Si possible avec les outils de terminale S
>>[/color]

Eh eh ... Archimède ...
J'ai trouvé ça (en anglais)
http://www.mamikon.com/USArticles/EasyCentroids.pdf
On y donne à la fin le centre de gravité d'un arc de cercle et il est
dit "même méthode pour le centre de gravité d'un secteur"
Y'a plus qu'a faire angle = pi pour le demi cercle...

Appliquons ....
Soit donc le centre de gravité d'un secteur d'angle 2*alpha.
Par symétrie, ce centre de gravité est sur le rayon médian,
à une distance f(alpha) avec f une fonction inconnue pour
l'instant.
Mettons deux secteurs côte à côte, pour former un secteur
d'angle 4*alpha.
On en déduit f(2*alpha) en fonction de alpha et de f(alpha)
(un petit peu de trigo...)
De plus on a f(0) est la limite quand alpha tend vers 0 du
centre de gravité d'un triangle soit
lim(f(alpha), alpha->0) = 2R/3
On peut alors prouver rigoureusement que
f_0(alpha) = 2R/3 * sin(alpha)/alpha est la seule solution

(vérifier que lim(f_0(alpha), alpha->0) = 2R/3)

On écrit f(alpha) = f_0(alpha) * g(alpha)
on en déduit en calculant f(2*alpha) que
g(2*alpha) = g(alpha) pour tout alpha (!=0)
donc que g(x) = g(x/(2^n))
en faisant tendre n vers l'infini, f(x) = 1 quel que soit x.
(je laisse le soin de formaliser tout ça...
AMHA une démonstration rigoureuse est hors programme de TS)

Finalement on a utilisé :
- la notion de centre de gravité (barycentre) et ses propriétés
additives
- un peu de trigo
- la notion de continuité (bon... au bord du programme ça)
- les limites.

et pas les intégrales !

Un demi cercle avec alpha = pi/2 donne
f(pi/2) = 4R/(3pi)

Verif rapide par la formule de Guldin (hors programme...)
En faisant tourner le demi-cercle autour de sa corde, on obtient
une sphère de volume 4*pi*R^3/3
la surface du demi cercle est pi*R^2/2
La formule de Guldin donne alors
4pi*R^3/3 = (2pi*OG) * (pi*R^2/2) et donc
OG = 4R/(3pi) ça baigne.

--
philippe
(chephip à free point fr)