Centre de GL(E)

[Anonyme]

Pour montrer que le centre de GL(E) est le sous groupe des homothéties
vectorielles on propose la dem suivante.
Si f de GL(E) est dans le centre, pour tout vecteur x non nul, il existe g
de GL(E) dont l'ensemble des vecteurs fixes est Rx....(puis on déduit que
f(x) est un vecteur fixe de g et qu'il est de la forme k.x....).
mais pourquoi existe-t-il cette application g (bijection linéaire) ?
je suppose que g est la projection sur Rx // à F avec E=Rx+F (somme directe
avec F=(Rx)orthogonal ) mais dans ce cas g n'est pas bijective sur E il me
semble..
qui peut m'expliquer ?

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[Anonyme]

> Pour montrer que le centre de GL(E) est le sous groupe des homothéties
> vectorielles on propose la dem suivante.
> Si f de GL(E) est dans le centre, pour tout vecteur x non nul, il existe g
> de GL(E) dont l'ensemble des vecteurs fixes est Rx....(puis on déduit que
> f(x) est un vecteur fixe de g et qu'il est de la forme k.x....).
> mais pourquoi existe-t-il cette application g (bijection linéaire) ?
> je suppose que g est la projection sur Rx // à F avec E=Rx+F (somme
> directe avec F=(Rx)orthogonal ) mais dans ce cas g n'est pas bijective sur
> E il me semble..
> qui peut m'expliquer ?

Déjà, on ne peut parler d'orthogonalité que quand on a un produit
scalaire...
Tu peux plutôt choisir un supplémentaire H de Rx et considérer la symétrie
par rapport à Rx parallèlement à H.

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Mû

[Anonyme]

yes of course, merci Mû

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