[MP] Pb avec un dse...

[Anonyme]

Bonsoir à tous,

J'ai eu en colle un pb que j'ai résolu mais le résultat est faux; pourtant
je vois pas l'erreur.

La fonction est f : x->(arcsin(x))^2 , à développer en série entière en 0.

Voila ma méthode :

f vérifie l'éq diff : (E) sqrt(1-x^2) * y' - 2y =0

on cherche les solutions u de E dse en 0 sur I=]-1;1[

on obtient l'éq : u=somme(u(n)*x^n,n=0..inf) est sol de E sur I si et
seulement si

sqrt(1-x^2) * somme((n+1)*u(n+1)*x^n,n=0..inf) - 2*somme(u(n)x^n,n=0..inf) =
0

on développe en série entière sqrt(1-x^2) (on note les coeff des x^n
"b(n)"), et on utilise la formule du produit de Cauchy sur :
sqrt(1-x^2) * somme((n+1)*u(n+1)*x^n,n=0..inf)

on obtient sqrt(1-x^2) * somme((n+1)*u(n+1)*x^n,n=0..inf) =
somme(c(n)*x^n,n=0..inf)
avec :

c(n)=somme((k+1)*u(k+1)*b(n-k),k=0..n)

Après calculs (que je vous laisse détailler) :

c(2n) = c(2n+1) = [1/(2n-1)]*somme( (2(n-k-1)) ! ) / ( 4^k * n! * (n-1)! ) ,
k=0..n-1)

de plus en résolvant l'éq diff : pour tout n entier, c(n)=2*a(n)

si on l'écrit pr les indices pairs et impairs, on obtient l'égalité : pr tt
n entier, a(2n)=a(2n+1)

ensuite on obtient a(2n) en fonction de a0, en commencant par a2 puis a4
etc.

après : th de Cauchy Liepschitz, l'ens des solutions est un esp affine de
dim 1, or l'ensemble des sol de E dse en 0 sur I est égalemt un esp aff de
dim 1 donc ils sont égaux. Donc f est dse en 0 sur I et on utilise la
condition initiale f(0)=0 pour avoir le a(0) qui correspond à f. et la ca
coince. j'obtiens n'importe koi.

J'aimerais savoir si vous voyez une autr manière de traiter l'exo, et si
vous trouvez une solution correcte par ma méthode.

Merci d'avance

[Anonyme]

Salut,

On Sat, 08 Jan 2005 20:46:44 +0100, diabolix wrote:

> f : x->(arcsin(x))^2
> f vérifie l'éq diff : (E) sqrt(1-x^2) * y' - 2y =0

Non,
qqs x \in ]-1,1[, f'(x) = 2 * (1-x^2)^(-1/2) * arcsin(x)
et (1-x^2)^1/2 * f'(x) - 2f(x) n'est pas toujours nul...
Tu as du faire une erreur en dérivant.

Si l'on suit la méthode classique de la recherche des coefficients avec
l'équation différentielle ce n'est pas intéressant :
car f est solution de (S) {y(0)=0, (1-x^2)y'^2-4y=0}

.... équation différentielle assez difficile à exploiter à cause du terme
au carré.

> J'aimerais savoir si vous voyez une autr manière de traiter l'exo, et
> si vous trouvez une solution correcte par ma méthode.

Je te propose de développer en série entière la dérivée de f, elle
vérifie une équation différentielle plus simple, puis d'intégrer le DSE.

À bientôt.
--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

hum... j'ai honte de moi... merci et a bientot
"Michel" a écrit dans le message de news:
pan.2005.01.08.20.12.42.942000@alussinan.org...
> Salut,
>
> On Sat, 08 Jan 2005 20:46:44 +0100, diabolix wrote:
>[color=green]
>> f : x->(arcsin(x))^2
>> f vérifie l'éq diff : (E) sqrt(1-x^2) * y' - 2y =0
>
> Non,
> qqs x \in ]-1,1[, f'(x) = 2 * (1-x^2)^(-1/2) * arcsin(x)
> et (1-x^2)^1/2 * f'(x) - 2f(x) n'est pas toujours nul...
> Tu as du faire une erreur en dérivant.
>
> Si l'on suit la méthode classique de la recherche des coefficients avec
> l'équation différentielle ce n'est pas intéressant :
> car f est solution de (S) {y(0)=0, (1-x^2)y'^2-4y=0}
>
> ... équation différentielle assez difficile à exploiter à cause du terme
> au carré.
>
>> J'aimerais savoir si vous voyez une autr manière de traiter l'exo, et
>> si vous trouvez une solution correcte par ma méthode.
>
> Je te propose de développer en série entière la dérivée de f, elle
> vérifie une équation différentielle plus simple, puis d'intégrer le DSE.
>
> À bientôt.
> --
> Michel [overdose@alussinan.org][/color]