Arithmétique

[Anonyme]

Bonjour, pouvez vous m'indiquer comment on démontre la conséquence suivante
du theoreme de Gauss :
Soient a, b et c trois entiers naturels. a divise c et b divise avec a et p
premiers entre eux. Donc ab divise c.

Merci d'avance.

Rg

[Anonyme]

J'ai un problème de compréhension de ton énoncé. Tu es sûr qu'il est
correct ?

Le 27/11/2004 21:05, RG a écrit :
> Soient a, b et c trois entiers naturels.

Oui.

> a divise c et b divise avec a et p premiers entre eux.

Houla !

Essayons de décomposer la phrase.

1er essai : a divise c (jusque là ça va) et b divise avec a et p...
BIIIP ! Ça ne veut rien dire, je recommence.

2nd essai : a divise c et b (oui, il divise chacun des deux) divise
avec... BIIIP ! Ça ne veut rien dire non plus.

3e essai, en supposant un accent manquant : a divise c (rien à dire) et
b, divisé avec a et p, premiers... BIIIP ! Au secours !

Par ailleurs, je ne vois pas d'où vient ce p qui n'a pas été défini
auparavant.

> Donc ab divise c.

Ça, cela semble correct. Tu vérifies ta seconde phrase et tu repasses
nous voir ?

[Anonyme]

Olivier Miakinen a écrit :[color=green]
> > a divise c et b divise avec a et p premiers entre eux.
>
> Houla ![/color]

Surprenant à première vue, oui, mais je tenterais quand même:
a divice c, b divise c, avec a et b premiers entre eux.

Je suis sûr que tu avais deviné tout seul (puisque tu as admis par
ailleurs que le résultat était correct)

--
Nico.

[Anonyme]

Le 27/11/2004 21:58, Nicolas Richard a écrit :
[color=green][color=darkred]
>> > a divise c et b divise avec a et p premiers entre eux.
>>
>> Houla ![/color]
>
> Surprenant à première vue, oui, mais je tenterais quand même:
> a divise c, b divise c, avec a et b premiers entre eux.[/color]

Bien vu !

> Je suis sûr que tu avais deviné tout seul

En fait non, à ma grande honte. Bon, j'avais bien supposé que le « p »
était en fait un « b », mais je n'ai pas imaginé un seul instant qu'il
manquait un « c » : je croyais plutôt à un mot de trop ou un truc de ce
genre.

> (puisque tu as admis par ailleurs que le résultat était correct)

Il me /semblait/ correct, en ce sens qu'il réunissait deux conditions
absentes de la deuxième phrase :
- il avait l'air de vouloir dire quelque chose ;
- il n'utilisait que les lettres a, b et c.

Bien sûr, si mes années d'école n'étaient pas aussi loin je me serais
peut-être souvenu de ce qu'on appelle théorème de Gauss... pour peu
qu'on l'ait appelé ainsi dans les années 70-80.


Pour tout dire, vendredi j'ai voulu calculer sin(pi/2005) sans
calculette. Eh bien il m'a fallu une bonne demi-heure avant de retrouver
le développement limité de sin(x) en 0. Je me souvenais bien d'un truc
avec les dérivées successives, mais avec quels coefficients ? C'est
finalement en vérifiant que e est plus proche de 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3!
+ 1/4! que de 1 + 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 que j'ai fini par me convaincre
du résultat. Et pas moyen de me rappeler le nom du type qui a permis de
calculer ces développements limités ! (Je viens de le retrouver sur
Internet : Taylor).


Donc non, je n'ai pas reconnu le théorème de Gauss.

[Anonyme]

"Olivier Miakinen" a écrit dans le message de news:
cob7eu$1jlh$1@cabale.usenet-fr.net...
> Le 27/11/2004 21:58, Nicolas Richard a écrit :
>[color=green][color=darkred]
>>> > a divise c et b divise avec a et p premiers entre eux.
>>>
>>> Houla !
>>
>> Surprenant à première vue, oui, mais je tenterais quand même:
>> a divise c, b divise c, avec a et b premiers entre eux.[/color]
>
> Bien vu !
>
>> Je suis sûr que tu avais deviné tout seul
>
> En fait non, à ma grande honte. Bon, j'avais bien supposé que le « p »
> était en fait un « b », mais je n'ai pas imaginé un seul instant qu'il
> manquait un « c » : je croyais plutôt à un mot de trop ou un truc de ce
> genre.
>
>> (puisque tu as admis par ailleurs que le résultat était correct)
>
> Il me /semblait/ correct, en ce sens qu'il réunissait deux conditions
> absentes de la deuxième phrase :
> - il avait l'air de vouloir dire quelque chose ;
> - il n'utilisait que les lettres a, b et c.
>
> Bien sûr, si mes années d'école n'étaient pas aussi loin je me serais
> peut-être souvenu de ce qu'on appelle théorème de Gauss... pour peu
> qu'on l'ait appelé ainsi dans les années 70-80.
>[/color]


En fait c'est a divice c, b divise c, avec a et b premiers entre eux.

[Anonyme]

Le 27/11/2004 21:58, Nicolas Richard avait écrit :
>
> a divice c, b divise c, avec a et b premiers entre eux.

Pour lui répondre, j'avais corrigé sans rien dire la faute de frappe :[color=green]
>>
>> a divise c, b divise c, avec a et b premiers entre eux.[/color]

Le 28/11/2004 10:28, en citant plein de texte inutile, RG l'a rétablie :
>
> En fait c'est a divice c, b divise c, avec a et b premiers entre eux.

Tu sais, il n'était pas utile d'insister là dessus. Tout le monde fait
des fautes.

[Anonyme]

"Olivier Miakinen" a écrit dans le message de news:
coc6lp$2pec$1@cabale.usenet-fr.net...
> Le 27/11/2004 21:58, Nicolas Richard avait écrit :[color=green]
>>
>> a divice c, b divise c, avec a et b premiers entre eux.
>
> Pour lui répondre, j'avais corrigé sans rien dire la faute de frappe :[color=darkred]
>>>
>>> a divise c, b divise c, avec a et b premiers entre eux.[/color]
>
> Le 28/11/2004 10:28, en citant plein de texte inutile, RG l'a rétablie :
>>
>> En fait c'est a divice c, b divise c, avec a et b premiers entre eux.
>
> Tu sais, il n'était pas utile d'insister là dessus. Tout le monde fait
> des fautes.[/color]

Mais comment fait on pour démontrer que dans ce cas on ab divise c ?

[Anonyme]

RG a écrit :
> Mais comment fait on pour démontrer que dans ce cas on ab divise c ?

On a assez cherché pour retrouver l'énoncé, à toi de retrouver la démo


Sinon: a|c et b|c => c = ak = bk'

tu cherches k" t.q. c = abk"

Donc tu cherches à avoir:
abk" = ak => bk" = k
abk" = bk' => ak" = k'

Puis, utiliser qu'il existe r et t entiers t.q. ar + bt = 1 (par
inter-premièreté )

D'où on tire rk' + kt = k"
Et donc on a trouvé k" je pense.

--
Nico, pas sûr de lui en fait.

[Anonyme]

Le 28/11/2004 10:58, RG revient à la question de base :
>[color=green][color=darkred]
>>> [ a divise c, b divise c, avec a et b premiers entre eux ][/color]
>
> Mais comment fait on pour démontrer que dans ce cas on [a] ab divise c ?[/color]

Un idée pourrait être de décomposer ab et c en facteurs premiers et de
vérifier que chaque p_i^m_i de la décomposition de ab divise un p_i^n_i
de la décomposition de c.

Il y a peut-être plus simple, mais je n'ai pas d'autre idée.

[Anonyme]

RG a écrit :

> "Olivier Miakinen" a écrit dans le message de news:
> coc6lp$2pec$1@cabale.usenet-fr.net...
>[color=green]
>>Le 27/11/2004 21:58, Nicolas Richard avait écrit :
>>[color=darkred]
>>>a divice c, b divise c, avec a et b premiers entre eux.
>>
>>Pour lui répondre, j'avais corrigé sans rien dire la faute de frappe :
>>
>>>>a divise c, b divise c, avec a et b premiers entre eux.
>>
>>Le 28/11/2004 10:28, en citant plein de texte inutile, RG l'a rétablie :
>>
>>>En fait c'est a divice c, b divise c, avec a et b premiers entre eux.
>>
>>Tu sais, il n'était pas utile d'insister là dessus. Tout le monde fait
>>des fautes.[/color]
>
>
> Mais comment fait on pour démontrer que dans ce cas on ab divise c ?
>
>[/color]
a|c et b|c donc c=a*k=b*k' => (théorème de Gauss: a^b=1) k=k''*b d'où ab|c.

--
Stéphane Saje
http://perso.wanadoo.fr/stephane.saje/

[Anonyme]

RG wrote:

> Mais comment fait on pour démontrer que dans ce cas on ab divise c ?

a est premier avec b :

au+bv=1

On multiplie par c :

acu+bcv=c

On sait que b divise c : c=be
et que a divise c : c=af

donc :

a(be)u+b(af)v=c

ce qui s'écrit encore :

ab(eu+fv)=c

donc ab divise c.

--
B.R