Arithmetique

[Anonyme]

Je veux demontrer que les inversibles de Z/(3^n)Z sont les +/-2^k, avec k
dans des limites a fixer.

Au cours de mes experimentations, je me suis rendu compte que 2 semble etre
d'ordre 2.3^(n-1)=phi(3^n) dans (Z/(3^n)Z)*, de sorte qu'il est un
generateur. Ca fait que les inversibles seraient tous accessibles avec un
signe +, et ca rend l'enonce au moins douteux.

Mais pour prouver ca dans le cas general, je coince un peu.

L'ordre de 2 divise phi(3^n), il est donc de la forme 3^k ou 2.3^k. Or
2^p=2^q mod (2.3^(n-1)) revient a chercher les k tels que 2^k=1 mod
(3^(n-1)).

Je calcule 2^(3^p)-1, avec l'identite remarquable a^3-b^3, j'arrive a :

2^(3^p)-1 = 7.prod(4^(3^k)+2^(3^k)+1,k=1..p-1)

et je constate par une etude modulo 9 que 4^(3^k)+2^(3^k)+1 est divisible
par 3, mais pas par 9 pour tout k non nul. Ainsi, 2^(3^n) est congru a 1
mod (3^(n-1)), mais pas 2^(3^(n-1)), et deja la, c'est bizarre.

Si je refais la meme chose avec 2^(3^p)+1, je trouve quelque chose d'a peu
pres similaire.

Pourriez-vous m'aider a organiser tout cela pour en deduire que 2 est bien
un generateur du groupe des inversibles de Z/(3^n)Z ?

Merci d'avance.

\bye

--

Nicolas FRANCOIS
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[Anonyme]

> Je veux demontrer que les inversibles de Z/(3^n)Z sont les +/-2^k, avec k
> dans des limites a fixer.

Si p est premier impair et x est un générateur modulo p^2, alors c'est un
générateur modulo p^n pour tout n (exercice). Donc, comme 2 est un
générateur modulo 9...

[Anonyme]

Yves De Cornulier wrote:
[color=green]
>> Je veux demontrer que les inversibles de Z/(3^n)Z sont les +/-2^k, avec k
>> dans des limites a fixer.
>
> Si p est premier impair et x est un générateur modulo p^2, alors c'est un
> générateur modulo p^n pour tout n (exercice).[/color]

Recurrence ? Une idee, STP ?

> Donc, comme 2 est un générateur modulo 9...

Voui, dans ce cas, ca semble evident !

\bye

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Nicolas FRANCOIS
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[Anonyme]

Yves De Cornulier wrote:
[color=green]
>> Je veux demontrer que les inversibles de Z/(3^n)Z sont les +/-2^k, avec k
>> dans des limites a fixer.
>
> Si p est premier impair et x est un générateur modulo p^2, alors c'est un
> générateur modulo p^n pour tout n (exercice). Donc, comme 2 est un
> générateur modulo 9...[/color]

D'autre part, je suis tres interesse par un resultat similaire pour les
generateurs de (Z/(2^n)Z)*, et des references bibliographiques et/ou
historiques sur le sujet (c'est pour un bouquin de maths).

\bye

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Nicolas FRANCOIS
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[Anonyme]

> Recurrence ? Une idee, STP ?

C'est facile une fois que tu admets le fait que (Z/p^n)* est cyclique
(d'ordre p^{n-1}(p-1)).

De même, si tu as un élément d'ordre 4 (par exemple 3) dans (Z/16)* et que
tu le relèves, t'obtiens un élément d'ordre 2^{n-2} dans (Z/2^n)*, qu'on
sait être le produit d'un cyclique d'ordre 2^{n-2} et d'un groupe cyclique
d'ordre 2 (engendré par -1).

--
Yves

[Anonyme]

"Nicolas FRANCOIS" a écrit
dans le message de news: 41921597$0$5406$626a14ce@news.free.fr...

> Au cours de mes experimentations, je me suis rendu compte que 2 semble
etre
> d'ordre 2.3^(n-1)=phi(3^n) dans (Z/(3^n)Z)*, de sorte qu'il est un
> generateur. Ca fait que les inversibles seraient tous accessibles avec un
> signe +, et ca rend l'enonce au moins douteux.

Késako "accessible ?"

[Anonyme]

Hibernatus wrote:

>
> "Nicolas FRANCOIS" a
> écrit dans le message de news: 41921597$0$5406$626a14ce@news.free.fr...
>[color=green]
>> Au cours de mes experimentations, je me suis rendu compte que 2 semble
> etre
>> d'ordre 2.3^(n-1)=phi(3^n) dans (Z/(3^n)Z)*, de sorte qu'il est un
>> generateur. Ca fait que les inversibles seraient tous accessibles avec un
>> signe +, et ca rend l'enonce au moins douteux.
>
> Késako "accessible ?"[/color]

i.e. comme des puissances de 2. Le sujet parle des puissances de 2 ou leurs
opposes, mais ces opposes sont visiblement inutiles.

\bye

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Nicolas FRANCOIS
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[Anonyme]

"Nicolas FRANCOIS" a écrit
dans le message de news: 4192b109$0$14254$626a14ce@news.free.fr...
> Hibernatus wrote:
>[color=green]
> >
> > "Nicolas FRANCOIS" a
> > écrit dans le message de news: 41921597$0$5406$626a14ce@news.free.fr...
> >[color=darkred]
> >> Au cours de mes experimentations, je me suis rendu compte que 2 semble
> > etre
> >> d'ordre 2.3^(n-1)=phi(3^n) dans (Z/(3^n)Z)*, de sorte qu'il est un
> >> generateur. Ca fait que les inversibles seraient tous accessibles avec[/color][/color]
un[color=green][color=darkred]
> >> signe +, et ca rend l'enonce au moins douteux.
> >
> > Késako "accessible ?"[/color]
>
> i.e. comme des puissances de 2. Le sujet parle des puissances de 2 ou[/color]
leurs
> opposes, mais ces opposes sont visiblement inutiles.

Ok : on peut montrer que 3^n | 2^(3^(n-1)) + 1 (récurrence), donc pour tout
k, -2^k = 2^(k+3^(n-1)) [3^n] et ton constat n'est plus du tout douteux.



Voilà.

> \bye

\pareil

>
> --
>
> Nicolas FRANCOIS
> http://nicolas.francois.free.fr
>
> We are the Micro$oft.
> Resistance is futile.
> You will be assimilated.