Arithmetique

[Anonyme]

Bonjour,
j'ecris par ce newsgroup par desespoir, apres de longues recherches avec un
crayon et un papier,
et des recherches sur le net, je n'ai point la solution:

dans un triangle chaque nombre est la somme des 3 nombres situés au dessus
(ça resemble au triangle de pascal).
calculer en justifiant (précisement) la somme de la n-ieme ligne de ce
triangle:

1
1 1 1
1 2 3 2 1
1 3 6 7 6 3 1

j'ai trouvé que pour passer de la somme d'une ligne à la suivante on
multiplie par 3
il est donc facile de trouver que la somme u(n) de la ligne n est:
u(n)= 1 * 3 ^ n soit u(n) = 3 puissance n
on vien d'inventer le calcule ternaire ^_^

le probleme est que je ne sais comment demontrer que pour p'asser d'une
ligne à l'autre on multiplie par 3. si qq1 a une idée...

merci beaucoup

Rémi

[Anonyme]

"Beler Naor" a écrit...

> dans un triangle chaque nombre est la somme des 3 nombres situés au
dessus
> (ça resemble au triangle de pascal).
> calculer en justifiant (précisement) la somme de la n-ieme ligne de ce
> triangle:
>
> 1
> 1 1 1
> 1 2 3 2 1
> 1 3 6 7 6 3 1
>
> j'ai trouvé que pour passer de la somme d'une ligne à la suivante on
> multiplie par 3
> il est donc facile de trouver que la somme u(n) de la ligne n est:
> u(n)= 1 * 3 ^ n soit u(n) = 3 puissance n
> on vien d'inventer le calcule ternaire ^_^
>
> le probleme est que je ne sais comment demontrer que pour p'asser
d'une
> ligne à l'autre on multiplie par 3. si qq1 a une idée...

Chacun des nombres situés sur la ligne n participe à la formation
d'exactement trois nombres de la ligne n+1.
Par exemple, le 2 de gauche de la troisième ligne se retrouve dans le 3,
le 6 et le 7 qui sont en dessous de lui dans la quatrième ligne.
Donc le total de la n+1 ème ligne est bien égal à trois fois celui de la
nième ligne.

Cordialement
Stéphane

[Anonyme]

Beler Naor wrote:
>
> dans un triangle chaque nombre est la somme des 3 nombres situés au dessus
> (ça resemble au triangle de pascal).
> calculer en justifiant (précisement) la somme de la n-ieme ligne de ce
> triangle:
>
> 1
> 1 1 1
> 1 2 3 2 1
> 1 3 6 7 6 3 1

Je remets le triangle d'aplomb pour que ce soit plus lisible (je suppose
que tu utilises une police de caractère à espacement variable).

1
1 1 1
1 2 3 2 1
1 3 6 7 6 3 1

> le probleme est que je ne sais comment demontrer que pour p'asser d'une
> ligne à l'autre on multiplie par 3. si qq1 a une idée...

Stéphane Ménart a déjà répondu à ta question. Maintenant, peut-on
calculer chaque nombre directement ?

0) Il est évident que les nombres les plus au bord sont tous des 1.

1 1 1 1 1 ...

1) Pour ceux à une distance 1 des bords, c'est encore facile : sur la
ligne numéro n (la première étant numérotée 0), le nombre est n.

(0)1 2 3 4 ...

2) À une distance 2 des bords, ça se complique à peine : n(n+1)/2.

(0)1 3 6 10 ...

3) Pour la diagonale suivante, je trouve n(n-1)(n+4)/6, mais c'était
déjà laborieux.

(0 0)2 7 16 ...

n) Quid du cas général ?