[spé] Arctan(M) + Arctan (1/M)

[Anonyme]

Bonjour,

Je rencontre quelques problèmes dans l'exercice suivant.

Montrer que pour toute matrice M de GLn(R), on a :

Arctan(M) + Arctan(M^(-1)) = signe(dét(M)) × pi/2 × Idn


J'avais pensé à trigonaliser M dans C.
M=P^(-1)TP avec T triangulaire supérieure.

Alors, en sommant et en utilisant le développement en série entière
de la fonction Arctan (qui converge si l'argument est une matrice) :

Arctan(M) + Arctan(1/M) = P^(-1)BP

avec B triangulaire supérieure de diagonale (pi/2) au signe près et dessus, c'est l'agonie.

En effet, les (P^(-1)TP)^k se simplifient en P^(-1) T^k P.
Les termes diagonaux de Arctan(T) + Arctan(T^(-1)) deviennent alors du type :
Arctan(t) + Arctan(1/t) qui fait : signe(t) × pi/2

t non nul puisque M est inversible, donc les coefficients diagonaux de T sont non nuls.


Le problème est de montrer que tout ce qui est dessus la diagonale de B est nul et que
tous les (pi/2) sont du signe de dét(A)...
Je n'y parviens pas.

Avez-vous mieux ?






Sinon, je regardais aussi cet exercice :

Soit r une fonction réelle continue à valeurs strictement positives.
Pour simplifier y''+r(x) × y=0, effectuer le changement de variable t=int(sqrt(r(u)),u,1,x).

On utilisera ensuite le changement de fonction : z(t)=(r(x))^(1/4) × y(x)

On obtiendra alors une équation de la forme : z''+(1+u(t))z=0, avec

u(t)= (K × r'(x) - K × r''(x) × r(x))/16r(x)

Application : résoudre y''+ Aln(x)y=0, A>0




Alors, le premier petit problème est que j'obtiens :

u(t) = (5r'(x)^2 - 4 r''(x)r(x))/(16r(x)^3)

ce qui n'est pas de la forme annoncée par l'énoncé...


} Application : résoudre y''+ A·ln(x)·y=0, A>0

Je n'y parviens pas.
L'expression que j'ai de u(t) n'a pas trop bonne mine.
L'expression de u(t) de l'énoncé non plus d'ailleurs...

D'avance merci pour votre aide.

Iulius

[Anonyme]

"Iulius" a écrit dans le message de
news:
> Montrer que pour toute matrice M de GLn(R), on a :
> Arctan(M) + Arctan(M^(-1)) = signe(dét(M)) × pi/2 × Idn
> J'avais pensé à trigonaliser M dans C.
> Alors, en sommant et en utilisant le développement en série entière
> de la fonction Arctan (qui converge si l'argument est une matrice) :
> Arctan(M) + Arctan(1/M) = P^(-1)BP
> avec B triangulaire supérieure de diagonale (pi/2) au signe près et
dessus, c'est >l'agonie.[color=green]
>> Avez-vous mieux ?[/color]

si le dessus te dérange, commence par voir ce qui se passe pour des matrices
diagonales, puis des matrices diagonalisables...
Je pense que les matrices diagonalisables et inversibles sont denses dans
GLn(R)..
Pour conclure faudra montrer que M -->Arctan(M) + Arctan(M^(-1)) est
continue..

[Anonyme]

Bonjour,

} si le dessus te dérange, commence par voir ce qui se passe pour des matrices
} diagonales, puis des matrices diagonalisables...

Mais ça n'a pas l'air de marcher pour une matrice diagonale... Étrange...
Puisque pour M=(1,0;0,-1), cela va faire :
Arctan(M) + Arctan(M^(-1)) = (pi/2,0;0,-pi/2)

La relation semble donc fausse...


} Je pense que les matrices diagonalisables et inversibles sont denses dans
} GLn(R)..

Les matrices diagonalisables sont denses dans Mn(C).

Dans GLn(R), je ne crois pas. Ce ne serait pas aussi dans GLn(C) ?
Donc l'extension ne marcherait pas.

Pour A=(0,1;-1,0) inversible, A + epsilon * Id n'est pas diagonalisable.
dét(A + epsilon * Id) = e^2 + 1



} Pour conclure faudra montrer que M -->Arctan(M) + Arctan(M^(-1)) est
} continue..

Ben il y a CVN de la série dans son disque ouvert de convergence.
On somme des fonctions polynomiales donc continues.
C'est donc continu. Ça ne va pas ?

Iulius

[Anonyme]

Bonjour,

} } Je pense que les matrices diagonalisables et inversibles sont denses dans
} } GLn(R)..
}
} Pour A=(0,1;-1,0) inversible, A + epsilon * Id n'est pas diagonalisable.
} dét(A + epsilon * Id) = e^2 + 1

Enfin, pour être plus clair, il s'agit de chercher B = (x,0;0,y) aussi proche
que l'on veut de A.
Pour la norme sqrt(Tr(tMM)), cela fait
|| A - B || = sqrt(x^2 + y^2 + 2) qui ne peut guère être rendu aussi petit
que l'on souhaite dans R.

Iulius

[Anonyme]

"Iulius" a écrit dans le message de
news:
> } } Je pense que les matrices diagonalisables et inversibles sont denses
dans
> } } GLn(R)..
> } Pour A=(0,1;-1,0) inversible, A + epsilon * Id n'est pas diagonalisable.
> } dét(A + epsilon * Id) = e^2 + 1

Je ne dis pas que toutes les matrices inversibles sont diagonalisables...
Je dis : "les matrices diagonalisables et inversibles sont denses dans
GLn(R).."

[Anonyme]

>Bonjour,
>
>} si le dessus te dérange, commence par voir ce qui se passe pour des matrices
>} diagonales, puis des matrices diagonalisables...
>
>Mais ça n'a pas l'air de marcher pour une matrice diagonale... Étrange...
>Puisque pour M=(1,0;0,-1), cela va faire :
>Arctan(M) + Arctan(M^(-1)) = (pi/2,0;0,-pi/2)
>
>La relation semble donc fausse...


*****************************
( 1 0 )
M = ( 0 -1)

On a M² = I et M^1 = M

En particulier :

M^(2n) = I
M^(2n+1) = M

Donc arctan(M)
= sum(n=0..inf, (-1)^n M^(2n+1)/(2n+1))
= sum(n=0..inf, (-1)^n M/(2n+1))
= M * sum(n=0..inf, (-1)^n 1/(2n+1))
= M * arctan(1)
= M * pi/4

pareil pour arctan(M^-1)

donc arctan(M) + arctan(M^-1) = M * pi/2


***************************

On calcule donc sur les matrices diagonales
Evidemment diag(ai, i=1..n) ^ k = diag( ai^k, i=1..n) et pour k>=0
mais aussi pour k=-1.

Ce qui te permet via la série entière de dire que

arctan(diag(ai, i=1..n)) = diag(arctan(ai), i=1..n)
arctan(diag(ai, i=1..n)^-1) = diag(arctan(1/ai), i=1..n)

La somme vaut donc

diag(arctan(ai)+arctan(1/ai), i=1..n)
= diag(sgn(ai) * pi/2, i=1..n)
= pi/2 * diag(sgn(ai), i=1..n)

Bon ce n'est effectivement pas la formule proposée !
Et je ne vois pas comment exprimer diag(sgn(ai)) pour une matrice
quelconque autrement que pour les valeurs propres...

*****************************

Je pense donc que la formule cherchée pour M inversible quelconque
doit être la suivante :

arctan(M) + arctan(M^-1) = pi/2 * diag( sgn(ai), i=1..n)

où Sp(M) = { ai, i=1..n }




--
zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volonté humaine...

[Anonyme]

Bonjour Zwim,

Je vous remercie pour votre réponse.

} Je pense donc que la formule cherchée pour M inversible quelconque
} doit être la suivante :
}
} arctan(M) + arctan(M^-1) = pi/2 * diag( sgn(ai), i=1..n)
}
} où Sp(M) = { ai, i=1..n }


Cela semble en effet plus raisonnable et revient à montrer dans mon calcul
que tous les coefficients au-dessus de la diagonale de B sont nuls.

Néanmoins, un petit détail est que pour utiliser le développement en série
entière d'Arctan, l'argument doit être plus petit que 1 en valeur absolue...

Donc ça ne marcherait que pour les |ai|<=1...
Sinon, la série entière diverge.

Iulius