Appartenance à un ensemble

[Anonyme]

bonjour
G sous-groupe compact de GL(V) opérant linéairement sur V (espace
vectoriel)
pour u mesure de lebesgue sur V on a q=1/u(C) intégrale sur C de x du(x)
et Gp=orbite de p
Comment montrer que q est dans C=conv(Gp),l'enveloppe convexe de Gp?
remarquer que q est G-inavariant.

Merci pour tout aide

[Anonyme]

"Fab34" a écrit dans le message de news:
c9gi5k$ssc$1@news-reader5.wanadoo.fr...
> bonjour
> G sous-groupe compact de GL(V) opérant linéairement sur V (espace
> vectoriel)
> pour u mesure de lebesgue sur V on a q=1/u(C) intégrale sur C de x du(x)
> et Gp=orbite de p
> Comment montrer que q est dans C=conv(Gp),l'enveloppe convexe de Gp?
> remarquer que q est G-inavariant.
>
> Merci pour tout aide

Gp est compact donc pour tout e>0, il existe un nombre fini d'éléments xi
dans Gp tel que pour tout x dans Gp, N(x-xi)0, il existe un élément x(e) de Gp tel que N(q-x(e))<e ce
qui démontre que q est dans l'adhérence de Gp qui est compact donc q
appartient à Gp

(on a construit un analogue des sommes de Riemann)

*********************
http://www.mathematiques.fr.st
Nouveautés :
corrigé du sujet Ecricome 2004 Eco (DS6)
un résumé du cours de phec première année Eco
une bonne centaine d'exercices spé PSI*,MP, MP* avec indications et
corrections
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[Anonyme]

>
> Gp est compact donc pour tout e>0, il existe un nombre fini d'éléments xi
> dans Gp tel que pour tout x dans Gp, N(x-xi) par les recouvrements ouverts)
> Soit Bi la boule de centre xi est de rayon e .

Bi est la boule de centre xi et de rayon e pour la norme induite sur Gp bien
entendu, i.e. Bi={x dans Gp tel que N(x-xi)<e}
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[Anonyme]

"Masterbech" a écrit dans le message de
news:c9hqcg$6ft$1@news-reader4.wanadoo.fr...

> Gp est compact donc pour tout e>0, il existe un nombre fini d'éléments xi
> dans Gp tel que pour tout x dans Gp, N(x-xi) par les recouvrements ouverts)
> Soit Bi la boule de centre xi est de rayon e . On va construire une
> partition de Gp
> On pose
> U1=B1, U2=B2\{U1}, U3=B3\{U1 union U2}, .., Uk=Bk\{union des Uj, j (faire un dessin)
> Il est clair que C=Gp est la réunion disjointe des ensembles Ui, chacun
> étant clairement mesurable.
>
> D'autre part,
> int(x dans C, xdu(x)= sum(i, int(x dans Ci, xdu(x))
> Ainsi, si l'on note N la norme euclidienne de V, on a
> N(q-1/u(C)*sum(xi*u(Ui))=N(1/u(C) *sum(i, int(x dans Ui, (x-xi)du(x))
> On utilise l'inégalité triangulaire sur la somme puis l'intégrale, ce qui
> donne
> N(q-1/u(C)*sum(xi*u(Ui)) Pour e fixé, la somme finie x(e)=1/u(C)*sum(xi*u(Ui)) est un élément de Gp
> car xi est dans Gp et
> 1/u(C)*sum(u(Ui)=1/u(C)*u(C) (car (Ui) forme une partition de C) = 1.
>
> Ainsi, pour tout e>0, il existe un élément x(e) de Gp tel que N(q-x(e)) qui démontre que q est dans l'adhérence de Gp qui est compact donc q
> appartient à Gp

mais dans mon enoncé C=conv(Gp) et non Gp

[Anonyme]

"Fab34" a écrit dans le message de
news:c9j5lj$6n4$1@news-reader4.wanadoo.fr...
> "Masterbech" a écrit dans le message de
> news:c9hqcg$6ft$1@news-reader4.wanadoo.fr...
>[color=green]
> > Gp est compact donc pour tout e>0, il existe un nombre fini d'éléments[/color]
xi[color=green]
> > dans Gp tel que pour tout x dans Gp, N(x-xi) compacts[color=green]
> > par les recouvrements ouverts)
> > Soit Bi la boule de centre xi est de rayon e . On va construire une
> > partition de Gp
> > On pose
> > U1=B1, U2=B2\{U1}, U3=B3\{U1 union U2}, .., Uk=Bk\{union des Uj,[/color]
j > (faire un dessin)
> > Il est clair que C=Gp est la réunion disjointe des ensembles Ui, chacun
> > étant clairement mesurable.
> >
> > D'autre part,
> > int(x dans C, xdu(x)= sum(i, int(x dans Ci, xdu(x))
> > Ainsi, si l'on note N la norme euclidienne de V, on a
> > N(q-1/u(C)*sum(xi*u(Ui))=N(1/u(C) *sum(i, int(x dans Ui, (x-xi)du(x))
> > On utilise l'inégalité triangulaire sur la somme puis l'intégrale, ce[/color][/color]
qui[color=green]
> > donne
> > N(q-1/u(C)*sum(xi*u(Ui)) > > Pour e fixé, la somme finie x(e)=1/u(C)*sum(xi*u(Ui)) est un élément de[/color]
Gp[color=green]
> > car xi est dans Gp et
> > 1/u(C)*sum(u(Ui)=1/u(C)*u(C) (car (Ui) forme une partition de C) = 1.
> >
> > Ainsi, pour tout e>0, il existe un élément x(e) de Gp tel que[/color]
N(q-x(e)) ce
> > qui démontre que q est dans l'adhérence de Gp qui est compact donc q
> > appartient à Gp
>[/color]
il doit y avoir une erreur de calcul quelque part
je trouve N(q-1/u(C)*sum(xi*u(Ui))) <= e/u(C)*sum(u(Ui)) ;
de plus u est la mesure de lebesgue , ce n'est pas une mesure de
probabilité et donc sum(u(Ui)) =/= 1

[Anonyme]

"Fab34" a écrit dans le message de
news:c9jlb4$513$1@news-reader2.wanadoo.fr...
>
> "Fab34" a écrit dans le message de
> news:c9j5lj$6n4$1@news-reader4.wanadoo.fr...[color=green]
> > "Masterbech" a écrit dans le message de
> > news:c9hqcg$6ft$1@news-reader4.wanadoo.fr...
> >[color=darkred]
> > > Gp est compact donc pour tout e>0, il existe un nombre fini d'éléments[/color]
> xi[color=darkred]
> > > dans Gp tel que pour tout x dans Gp, N(x-xi) > compacts[color=darkred]
> > > par les recouvrements ouverts)
> > > Soit Bi la boule de centre xi est de rayon e . On va construire une
> > > partition de Gp
> > > On pose
> > > U1=B1, U2=B2\{U1}, U3=B3\{U1 union U2}, .., Uk=Bk\{union des Uj,[/color]
> j > > (faire un dessin)
> > > Il est clair que C=Gp est la réunion disjointe des ensembles Ui,[/color][/color][/color]
chacun[color=green][color=darkred]
> > > étant clairement mesurable.
> > >
> > > D'autre part,
> > > int(x dans C, xdu(x)= sum(i, int(x dans Ci, xdu(x))
> > > Ainsi, si l'on note N la norme euclidienne de V, on a
> > > N(q-1/u(C)*sum(xi*u(Ui))=N(1/u(C) *sum(i, int(x dans Ui, (x-xi)du(x))
> > > On utilise l'inégalité triangulaire sur la somme puis l'intégrale, ce[/color]
> qui[color=darkred]
> > > donne
> > > N(q-1/u(C)*sum(xi*u(Ui)) > > > > Pour e fixé, la somme finie x(e)=1/u(C)*sum(xi*u(Ui)) est un élément[/color][/color]
de
> Gp[color=green][color=darkred]
> > > car xi est dans Gp et
> > > 1/u(C)*sum(u(Ui)=1/u(C)*u(C) (car (Ui) forme une partition de C) = 1.
> > >
> > > Ainsi, pour tout e>0, il existe un élément x(e) de Gp tel que[/color]
> N(q-x(e)) > ce
> > > qui démontre que q est dans l'adhérence de Gp qui est compact donc q
> > > appartient à Gp
> >[/color]
> il doit y avoir une erreur de calcul quelque part
> je trouve N(q-1/u(C)*sum(xi*u(Ui))) de plus u est la mesure de lebesgue , ce n'est pas une mesure de
> probabilité et donc sum(u(Ui)) =/= 1
>[/color]
c bon, je fatigue