Definition d'un ensemble d'elements p-adiques

[Anonyme]

J'ai lu plusieurs fois des articles scientifiques
faisant référence aux ensembles d'éléments p-adiques.
Je n'arrive pas (meme avec l'internet) à trouver
une définition claire et compréhensible pour
un profane des ensembles d'elements p-adiques.
Merci de nous eclairer de vos lumieres
bien amicalement
jean-pierre cros

[Anonyme]

"jean-pierre cros" a écrit dans le message de news:
Xns962CE9B8E2CCcroscgtfr@193.252.117.183...
> J'ai lu plusieurs fois des articles scientifiques
> faisant référence aux ensembles d'éléments p-adiques.
> Je n'arrive pas (meme avec l'internet) à trouver
> une définition claire et compréhensible pour
> un profane des ensembles d'elements p-adiques.
> Merci de nous eclairer de vos lumieres
> bien amicalement

je devais faire un article sur la construction des nombres p-adiques, je
n'ai pas encore eu le temps de l'achever mais tu trouveras sur mon site
(http://abdellah.bechata.free.fr/adique.php) un article sur la construction
des réels en utilisant la valeur absolue archimédienne. Les nombres
p-adiques se construisent de façon analogue en utilisant la valeur absolue
p-adique (cf. l'article sur les valeurs absolues sur Q).
Je ferais l'article complet durant les vacances scolaires d'été (ainsi que
la théorie de la mesure, la transformation de Fourier additive et
multiplicative)

********************
http://www.mathematiques.fr.st
*******************

[Anonyme]

"Masterbech" wrote in
news:424fc0af$0$837$8fcfb975@news.wanadoo.fr:

> "jean-pierre cros" a écrit dans le message de news:
> Xns962CE9B8E2CCcroscgtfr@193.252.117.183...[color=green]
>> J'ai lu plusieurs fois des articles scientifiques
>> faisant référence aux ensembles d'éléments p-adiques.
>> Je n'arrive pas (meme avec l'internet) à trouver
>> une définition claire et compréhensible pour
>> un profane des ensembles d'elements p-adiques.
>> Merci de nous eclairer de vos lumieres
>> bien amicalement
>
> je devais faire un article sur la construction des nombres p-adiques,
> je n'ai pas encore eu le temps de l'achever mais tu trouveras sur mon
> site (http://abdellah.bechata.free.fr/adique.php) un article sur la
> construction des réels en utilisant la valeur absolue archimédienne.
> Les nombres p-adiques se construisent de façon analogue en utilisant
> la valeur absolue p-adique (cf. l'article sur les valeurs absolues sur
> Q). Je ferais l'article complet durant les vacances scolaires d'été
> (ainsi que la théorie de la mesure, la transformation de Fourier
> additive et multiplicative)
>
> ********************
> http://www.mathematiques.fr.st
> *******************
>
>
>[/color]
merci, je connaissais ce site mais j'etais passé
à coté de ces pages.
En fait la question de fond qui m'intrigue le plus, mais
je n'ai malheureusement pas les compétences pour meme envisager
un début de réponse, est la suivante:
Est-ce que l'ensemble des propriétés sur les nombres par exemple
sont indépendantes du système de numération dans lequel on se place
ou est-ce que certaines propriétés sont spécifiques ou influencées
par la base du système dans lequel on se place implicitement
comme le système décimal?
J'ai remarqué que le système décimal est souvent sous-entendu par
exemple sur l'écriture des indices.
Il me semble que les développements de ces différentes disciplines
pour etre universels devraient etre indépendants du système de
numération et de représentation de la base, hors je ne vois jamais
d'hypothèses faites à ce sujet!
jean-pierre cros

[Anonyme]

"jean-pierre cros" a écrit dans le message de news:
Xns962D9AF24D755croscgtfr@193.252.117.183...

> merci, je connaissais ce site mais j'etais passé
> à coté de ces pages.
> En fait la question de fond qui m'intrigue le plus, mais
> je n'ai malheureusement pas les compétences pour meme envisager
> un début de réponse, est la suivante:
> Est-ce que l'ensemble des propriétés sur les nombres par exemple
> sont indépendantes du système de numération dans lequel on se place
> ou est-ce que certaines propriétés sont spécifiques ou influencées
> par la base du système dans lequel on se place implicitement
> comme le système décimal?
> J'ai remarqué que le système décimal est souvent sous-entendu par
> exemple sur l'écriture des indices.
> Il me semble que les développements de ces différentes disciplines
> pour etre universels devraient etre indépendants du système de
> numération et de représentation de la base, hors je ne vois jamais
> d'hypothèses faites à ce sujet!
> jean-pierre cros

Les nombres existent indépendamment du système de numération. Par exemple,
le nombre sept représente, par exemple, la liste suivante de symbole b :
bbbbbbb mais aussi la liste suivante des symboles ? : ???????
Pour faciliter l'écriture des "grands" nombres, on peut décider de choisir
(construire) une méthode de numération. Par exemple, le nombre sept peut
s'écrire : 7 (numération arabe), VII (romaine), 111 (numération binaire), G
(numération "alphabétique" que je viens de créer:=)), 21 (numération en
basee 3), etc.
Bien entendu, les propriétés des nombres sont indépendantes de leurs
numérations (le Soleil est l'astre que l'on connait, on peut également le
nommer Sun, Bobo, alphabet ou comme l'on veut mais l'objet existe
indépendamment de sa dénomination).
On peut alors appeler nombre entier tout symbole constitué de symboles ?
accolés (en un nombre fini, d'où originelement un problème à définir un
nombre entier indépendamment d'une intuition naturelle) et deux nombres sont
égaux si et seulement chaque symbole ? du premier est en correspondance
bijective avec chaque symbole ? de l'autre nombre
Ainsi, ?? ??? (associer le premier ? du premier nombre avec le premier ?
du second nombre, le deuxième ? du premier nombre avec le deuxième ? du
second nombre mais alors le troisième ? du deuxième nombre ne peut être
associé biunivoquement avec un ? du premier nombre)

On peut définir l'addition de deux entiers, naturels, ???? et ????? comme
étant l'entier ????????? (qui s'obtient par concaténation des entiers ????
et ????? dans cet ordre), ce qui nous fournit, par définition,
???? + ????? = ?????????
ce qui en numérotation arabe donne 4 + 5 = 9 et en grec IV + V = IX

On en déduit immédiatement la commutativité de l'addition
???? + ????? = ?????????
et
????? + ???? = ?????????
donc
???? + ????? = ????? + ????
ou encore 4 + 5 = 5 + 9 ou IV + V = V + IV
On définit également la multiplication de deux entiers, naturels, ??? et
???? comme étant l'addition ???? + ???? + ????, ce qui fournit par
définition
??? * ???? = ???? + ???? + ???? = ???????????? (par définition de
l'addition)
ce qui en numérotation arabe donne 3 * 4 = 12 ou en numérotation grec III *
IV = XII
La commutativité de la multiplication est immédiate car
??? * ???? = ???? + ???? + ???? = ????????????
et
???? * ??? = ??? + ??? + ??? + ??? = ????????????
donc
??? * ???? = ???? * ???
ce qui s'écrit 3 * 4 = 4 * 3 ou III * IV = IV * III

La distributivité de la multiplication est également immédiate.

??? * (?? + ????) = (?? + ????) + (?? + ????) + (?? + ????)
= ????? + ????? + ????? = ???????????????
et
??? * ?? + ??? * ????? = (?? + ?? + ??) + (????? + ???? + ????)
= ?????? + ?????????????? = ??????????????????
donc
??? * (?? + ????) = ??? * ?? + ??? * ?????

Par contre l'addition ne se distribue pas sur la multiplication car
??? + (?? * ?????) = ??? + (???? + ????) = ??? + ???????? = ???????????
et
(??? + ??) * (??? + ????) = (?????)*(???????)
= ??????? + ??????? + ??????? + ??????? + ???????
= ???????????????????????????????????
et il est immédiat que
??????????? ???????????????????????????????????

On définit une relation d'ordre sur les entiers en définition a <= b comme
étant la possibilité d'associer à chaque symbole ? de a un et un seul
symbole de ?
(en clair, a possède moins de symboles ? que b).
Il est facile de constater que l'on dispose d'une relation d'ordre total sur
les entiers naturels.
Il est facile, mais je le ferais pas, que la relation <= est compatible à
l'addition et la multiplication (a<=b et c<=d alors a+c<=b+d et a*c <= b*d),
le résultat découlant du fait que si les symboles de a (resp. c)
correspondent à un et un seul symbole de b (resp. d) alors a+c s'obtient par
concaténation de a et b et on fait correspondre aux symboles ? de a+c
provenant de a les symboles de b+d provenant de b et aux symboles ? de a+c
provenant de c les symboles de b+d provenant de d.

L'addition et la multiplication étant défini ainsi que la relation d'ordre
et l'égalité, on définit le nombre entier K comme étant le symbole constitué
d'aucun symbole ?
Par définition d'une concaténation ??? + = ??? donc a+K=a pour tout entier
a. Cet entier K est noté conventionnellement 0.
On peut alors aisément construire la soustraction et la division
(euclidienne) classique puis les entiers relatifs et les rationnels. Le
reste, je l'ai écris dans l'article sus-mentionné.

Bien entendu, cette construction présuppose l'existence des entiers et on ne
peut y échapper à cette connaissance intuitive, qui fut la construction
historique et naturelle des nombres (on peut utiliser la théorie des
ensembles pour ne supposer que l'existence de l'inclusion, de l'ensemble
vide, et de l'ensemble des parties d'un ensemble, mais fondemantalement elle
est identique à celle que je viens de donner et elle n'échappe pas à
l'acceptation de certains axiomes, qui sont moins intuitifs que cette
construction).

********************
http://www.mathematiques.fr.st
*******************

[Anonyme]

"Masterbech" wrote in
news:424ff61f$0$11719$8fcfb975@news.wanadoo.fr:

>
>
> "jean-pierre cros" a écrit dans le message de news:
> Xns962D9AF24D755croscgtfr@193.252.117.183...
>[color=green]
>> merci, je connaissais ce site mais j'etais passé
>> à coté de ces pages.
>> En fait la question de fond qui m'intrigue le plus, mais
>> je n'ai malheureusement pas les compétences pour meme envisager
>> un début de réponse, est la suivante:
>> Est-ce que l'ensemble des propriétés sur les nombres par exemple
>> sont indépendantes du système de numération dans lequel on se place
>> ou est-ce que certaines propriétés sont spécifiques ou influencées
>> par la base du système dans lequel on se place implicitement
>> comme le système décimal?
>> J'ai remarqué que le système décimal est souvent sous-entendu par
>> exemple sur l'écriture des indices.
>> Il me semble que les développements de ces différentes disciplines
>> pour etre universels devraient etre indépendants du système de
>> numération et de représentation de la base, hors je ne vois jamais
>> d'hypothèses faites à ce sujet!
>> jean-pierre cros
>
> Les nombres existent indépendamment du système de numération. Par
> exemple, le nombre sept représente, par exemple, la liste suivante de
> symbole b : bbbbbbb mais aussi la liste suivante des symboles ? :
> ??????? Pour faciliter l'écriture des "grands" nombres, on peut
> décider de choisir (construire) une méthode de numération. Par
> exemple, le nombre sept peut s'écrire : 7 (numération arabe), VII
> (romaine), 111 (numération binaire), G (numération "alphabétique" que
> je viens de créer:=)), 21 (numération en basee 3), etc.
> Bien entendu, les propriétés des nombres sont indépendantes de leurs
> numérations (le Soleil est l'astre que l'on connait, on peut également
> le nommer Sun, Bobo, alphabet ou comme l'on veut mais l'objet existe
> indépendamment de sa dénomination).
> On peut alors appeler nombre entier tout symbole constitué de symboles
> ? accolés (en un nombre fini, d'où originelement un problème à définir
> un nombre entier indépendamment d'une intuition naturelle) et deux
> nombres sont égaux si et seulement chaque symbole ? du premier est en
> correspondance bijective avec chaque symbole ? de l'autre nombre
> Ainsi, ?? ??? (associer le premier ? du premier nombre avec le
> premier ? du second nombre, le deuxième ? du premier nombre avec le
> deuxième ? du second nombre mais alors le troisième ? du deuxième
> nombre ne peut être associé biunivoquement avec un ? du premier
> nombre)
>
> On peut définir l'addition de deux entiers, naturels, ???? et ?????
> comme étant l'entier ????????? (qui s'obtient par concaténation des
> entiers ???? et ????? dans cet ordre), ce qui nous fournit, par
> définition, ???? + ????? = ?????????
> ce qui en numérotation arabe donne 4 + 5 = 9 et en grec IV + V = IX
>
> On en déduit immédiatement la commutativité de l'addition
> ???? + ????? = ?????????
> et
> ????? + ???? = ?????????
> donc
> ???? + ????? = ????? + ????
> ou encore 4 + 5 = 5 + 9 ou IV + V = V + IV
> On définit également la multiplication de deux entiers, naturels, ???
> et ???? comme étant l'addition ???? + ???? + ????, ce qui fournit par
> définition
> ??? * ???? = ???? + ???? + ???? = ???????????? (par définition de
> l'addition)
> ce qui en numérotation arabe donne 3 * 4 = 12 ou en numérotation grec
> III * IV = XII
> La commutativité de la multiplication est immédiate car
> ??? * ???? = ???? + ???? + ???? = ????????????
> et
> ???? * ??? = ??? + ??? + ??? + ??? = ????????????
> donc
> ??? * ???? = ???? * ???
> ce qui s'écrit 3 * 4 = 4 * 3 ou III * IV = IV * III
>
> La distributivité de la multiplication est également immédiate.
>
> ??? * (?? + ????) = (?? + ????) + (?? + ????) + (?? + ????)
> = ????? + ????? + ????? = ???????????????
> et
> ??? * ?? + ??? * ????? = (?? + ?? + ??) + (????? + ???? + ????)
> = ?????? + ?????????????? = ??????????????????
> donc
> ??? * (?? + ????) = ??? * ?? + ??? * ?????
>
> Par contre l'addition ne se distribue pas sur la multiplication car
> ??? + (?? * ?????) = ??? + (???? + ????) = ??? + ???????? =
> ??????????? et
> (??? + ??) * (??? + ????) = (?????)*(???????)
> = ??????? + ??????? + ??????? + ??????? + ???????
> = ???????????????????????????????????
> et il est immédiat que
> ??????????? ???????????????????????????????????
>
> On définit une relation d'ordre sur les entiers en définition a comme étant la possibilité d'associer à chaque symbole ? de a un et un
> seul symbole de ?
> (en clair, a possède moins de symboles ? que b).
> Il est facile de constater que l'on dispose d'une relation d'ordre
> total sur les entiers naturels.
> Il est facile, mais je le ferais pas, que la relation compatible à l'addition et la multiplication (a a+c symboles de a (resp. c) correspondent à un et un seul symbole de b
> (resp. d) alors a+c s'obtient par concaténation de a et b et on fait
> correspondre aux symboles ? de a+c provenant de a les symboles de b+d
> provenant de b et aux symboles ? de a+c provenant de c les symboles de
> b+d provenant de d.
>
> L'addition et la multiplication étant défini ainsi que la relation
> d'ordre et l'égalité, on définit le nombre entier K comme étant le
> symbole constitué d'aucun symbole ?
> Par définition d'une concaténation ??? + = ??? donc a+K=a pour tout
> entier a. Cet entier K est noté conventionnellement 0.
> On peut alors aisément construire la soustraction et la division
> (euclidienne) classique puis les entiers relatifs et les rationnels.
> Le reste, je l'ai écris dans l'article sus-mentionné.
>
> Bien entendu, cette construction présuppose l'existence des entiers et
> on ne peut y échapper à cette connaissance intuitive, qui fut la
> construction historique et naturelle des nombres (on peut utiliser la
> théorie des ensembles pour ne supposer que l'existence de l'inclusion,
> de l'ensemble vide, et de l'ensemble des parties d'un ensemble, mais
> fondemantalement elle est identique à celle que je viens de donner et
> elle n'échappe pas à l'acceptation de certains axiomes, qui sont moins
> intuitifs que cette construction).
>
> ********************
> http://www.mathematiques.fr.st
> *******************
>
>
>[/color]

Vu, mille fois merci,
J'avais beaucoup d'interrogations sur l'existence "intrinsèque" des
nombres premiers et sur l'universalité des recherches actuelles qui
tournent autour de ceux-ci.
J'ai quand meme du mal à me faire à l'idée (intuitive) que ceux-ci
sont indépendants du système de numération.
Avons nous les memes nombres premiers dans notre système décimal et dans
un système à base 17 par exemple qui est lui-meme un nombre premier
(dans le systeme décimal)?
C'est promis j'arrete la mes questions de "beotien".
jean-pierre cros

[Anonyme]

jean-pierre cros a écrit:
>
> Vu, mille fois merci,
> J'avais beaucoup d'interrogations sur l'existence "intrinsèque" des
> nombres premiers et sur l'universalité des recherches actuelles qui
> tournent autour de ceux-ci.
> J'ai quand meme du mal à me faire à l'idée (intuitive) que ceux-ci
> sont indépendants du système de numération.
> Avons nous les memes nombres premiers dans notre système décimal et dans
> un système à base 17 par exemple qui est lui-meme un nombre premier
> (dans le systeme décimal)?

Ne vois tu pas le serpent qui se mord la queue, dans ta phrase ? Ta
question est 'la notion de primarité d'un nombre ne dépend elle pas de
la base d'écriture ?' et tu y réponds OUI implictement tout en formulant
ta question...
Plus au fond : la popriété d'un nombre d de diviser un autre nombre n
dépend elle du choix d'une base ? Bien évidemment, non... Si je peux
faire un certain nombres de tas de d "choses" à partir des n "choses" et
qu'il ne reste plus de 'choses', cela ne dépend pas d'une base, hein ?
Donc.. si un nb n'est divisible que par 1 et lui même, cela ne dépend
pas d'une base d'écriture non plus...

> C'est promis j'arrete la mes questions de "beotien".
> jean-pierre cros