Re: Algébre L3

[Anonyme]

[color=green]
>> 4) ... je bloques complétement !!
>
> Essaie de montrer qu'un élément d'ordre p est trigonalisable, puis de le
> réduire.[/color]


Salut,
Bha en faite je bloque toujours, un petit coup de main serait le bienvenu.


Merci.
Pierre.

[Anonyme]

rappel de l'énoncé
Soit p un nombre premier. G le grouppe des matrices 2x2 inversible à
coeff
dans le corp Fp (corp à p éléments)

T=|1 1|
|0 1|

1) Quel est l'ordre de G
2) Quel est l'ordre de T
3) Déterliné le cardinal de la classe de conjugaison de T dans G
4) Montrez que tout élément d'ordre p de G est conjugé à T

On Tue, 17 May 2005 21:06:54 +0200, "Trident"
wrote:

>[color=green][color=darkred]
>>> 4) ... je bloques complétement !!
>>
>> Essaie de montrer qu'un élément d'ordre p est trigonalisable, puis de le
>> réduire.[/color]
>
>
>Salut,
>Bha en faite je bloque toujours, un petit coup de main serait le bienvenu.
>
>
>Merci.
>Pierre.[/color]
voilà ce à quoi j'arrive

mais bon , vu cette grosse chaleur je n'affirmerai pas que je n'ai pas
raconté de blague.....en tout cas je suis longuet

si M est semblable à T c'est qu'elle est effectivement trigonalisable
mais la réciproque est vraie
car si trigonalisable (et d'ordre p)
donc semblable à
u k
0 v
on aura M^p=I semblable à
u^p ?
0 v^p

et comme la seule matrice semblable à I est I
u^p=v^=1
donc u=v=1 (car dans F_p iso à Z/pZ x^p=x)
donc M semblable à
1 k
0 1
(k non nul sinon M=I et pas d'ordre p)
donc semblable à T

donc si M est d'ordre p
elle sera semblable à T ssi elle trigonalisable
donc ssi
son poly cara est un produit de facteurs du 1er degré
or le poly mini de M ne peut être du 1er degré (ca conduirait à M=I)
donc le poly mini est le poly cara
mais M annule X^p-1
donc le poly cara divise X^p-1=(X-1)^p
(rappel on est dans F_p)
donc le poly cara est (X-1)^2
donc M trigonalisable et semblable à T

rem : j'arrive même à
M=
a b
c d
est d'ordre p
ssi elle est diff de I et si a+d=2 et ad-bc=1
par ex une autre que T est
2 -1
1 0

vérif
M^n=
n+1 -n
n -n+1 qui fera I
ssi n=0 (mod p)
et le plus petit n non nul qui convient est n=p

*****************
http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )
*****************