Algèbre

[Anonyme]

Bonjour, je dois montrer que A étant une matrice d'ordre n ne possédant
qu'un et un seul cofacteur nul est inversible.
On a donc rang(A)>=n-1 (tous les det de rang n-1 ne sont pas nuls)
Supposons rang(A)=n-1
D'ou rg(Com A)=1 (çà se démontre sur A*t(Com A)=0)
et ensuite j'ai écris dans ma correction, "on a donc des zéros sur la ième
ligne et la jième colonne donc au moins 2n-1 coeffs nuls d'ou la
contradiction, donc rg(A)=n" mais je n'arrive plus à retrouver à quoi ça
correspond !!
Si qq1 peut m'aider...
Merci bcp

[Anonyme]

"Psi" a écrit dans le message de
news:cbmsla$do3$1@news-reader4.wanadoo.fr...
> Bonjour, je dois montrer que A étant une matrice d'ordre n ne possédant
> qu'un et un seul cofacteur nul est inversible.
> On a donc rang(A)>=n-1 (tous les det de rang n-1 ne sont pas nuls)
> Supposons rang(A)=n-1
> D'ou rg(Com A)=1 (çà se démontre sur A*t(Com A)=0)
> et ensuite j'ai écris dans ma correction, "on a donc des zéros sur la ième
> ligne et la jième colonne donc au moins 2n-1 coeffs nuls d'ou la
> contradiction, donc rg(A)=n" mais je n'arrive plus à retrouver à quoi ça
> correspond !!
> Si qq1 peut m'aider...
> Merci bcp
>
>
Supposons que rg(A)=n-1
Alors rg(com A)=1 comme tu le dis
Donc les lignes de com A sont colinéaires à une ligne donnée L, qui a tous
ses coefficients non nuls (car sinon com A aurait tout une colonne nulle) :
la ligne i de com A est alpha_i.L, et le coefficient (i,j) de com A est
alpha_i.L_j
Par hypothèse on sait qu'un coefficient (i,j) de com A est nul, donc
alpha_i.L_j=0. Comme L_j est non nul, alpha_i=0, donc la ligne i de com A
est nulle : impossible

Pour résumer, le résultat qu'on utilise est le suivant : si une matrice est
de rang 1 et qu'elle a un coefficient nul, alors elle a tout une ligne ou
tout une colonne nulle (mais pas les 2 comme tu le dis)