Algèbre

[Anonyme]

quelqu'un peut-il m'aider
suis perdu
Soit K un corps ou un anneau
Qu'elle est la différence entre K(x) et K[x] ?
pourquoi K[x,y] = K[x][y] ? d'ailleurs qu'est ce que ca signifie?
A priori Fp = {0,1,...,p-1}=Z /pZ et en Td j'apprends que F4 =/= Z/ 4Z je
ne compends plus rien

merci pour toute aide

[Anonyme]

"Fab" a écrit dans le message de
news:c0pgl8$9rp$1@news-reader1.wanadoo.fr...
> quelqu'un peut-il m'aider
> suis perdu
> Soit K un corps ou un anneau
> Qu'elle est la différence entre K(x) et K[x] ?
> pourquoi K[x,y] = K[x][y] ? d'ailleurs qu'est ce que ca signifie?
> A priori Fp = {0,1,...,p-1}=Z /pZ et en Td j'apprends que F4 =/= Z/ 4Z
je

Z/4Z est un groupe additif, et pour p premier, (Z/pZ)* est un groupe
multiplicatif, et je crois bien que Fp est ce dernier groupe (à p-1
éléments). Mais pour F4, comme 4 n'est pas premier, je ne sais pas bien à
quoi ça correspond.

[Anonyme]

On Mon, 16 Feb 2004 07:49:45 +0100, CB wrote:
>
>"Fab" a écrit dans le message de
>news:c0pgl8$9rp$1@news-reader1.wanadoo.fr...[color=green]
>> quelqu'un peut-il m'aider
>> suis perdu
>> Soit K un corps ou un anneau
>> Qu'elle est la différence entre K(x) et K[x] ?
>> pourquoi K[x,y] = K[x][y] ? d'ailleurs qu'est ce que ca signifie?
>> A priori Fp = {0,1,...,p-1}=Z /pZ et en Td j'apprends que F4 =/= Z/ 4Z
>je
>
>Z/4Z est un groupe additif, et pour p premier, (Z/pZ)* est un groupe
>multiplicatif, et je crois bien que Fp est ce dernier groupe (à p-1
>éléments). Mais pour F4, comme 4 n'est pas premier, je ne sais pas bien à
>quoi ça correspond.[/color]

C'est le corps fini à deux éléments ; on l'obtient en quotientant
F_2[X] par un polynôme irréductible de degré 2, par exemple
X^2+X+1 (en fait c'est le seul).
Ses éléments sont 0, 1, X et X + 1 alias 0, 1, a, b
avec la table d'addition
+ 0 1 a b
0 0 1 a b
1 1 0 b a
a a b 0 1
b b a 1 0

et la multiplication
* 0 1 a b
0 0 0 0 0
1 0 1 a b
a 0 a b 1
b 0 b 1 a

Donc la table des inverses : ab = 1, 1^2=1.

[Anonyme]

On Mon, 16 Feb 2004 07:49:52 +0000 (UTC), Frederic wrote:
>C'est le corps fini à deux éléments ; on l'obtient en quotientant
^^^^ quatre évidemment, pardon !
>F_2[X] par un polynôme irréductible de degré 2, par exemple
>X^2+X+1 (en fait c'est le seul).

J'en profite pour rappeler que, si K est un corps fini,
alors il existe p et n, tels que p est premier et
K est de cardinal p^n. Réciproquement, si p est
premier et n un entier quelconque, alors on
considère P un polynôme irréductible dans Z/pZ[X], de degré n,
(alias F_p car p est premier), et le quotient
(F_p[X])/(P) est un corps fini à p^n éléments.

[Anonyme]

>Z/4Z est un groupe additif, et pour p premier, (Z/pZ)* est un groupe
>multiplicatif, et je crois bien que Fp est ce dernier groupe (à p-1
>éléments). Mais pour F4, comme 4 n'est pas premier, je ne sais pas bien à
>quoi ça correspond.
>C'est le corps fini à deux éléments ; on l'obtient en quotientant
>F_2[X] par un polynôme irréductible de degré 2, par exemple
>X^2+X+1 (en fait c'est le seul).
>Ses éléments sont 0, 1, X et X + 1 alias 0, 1, a, b


j'ai pas tout compris
Z/4Z a 4 éléments ou 2 ?

[Anonyme]

"Frederic" a écrit dans le message de news:
slrnc30tua.li0.beal@clipper.ens.fr...
> On Mon, 16 Feb 2004 07:49:52 +0000 (UTC), Frederic wrote:[color=green]
> >C'est le corps fini à deux éléments ; on l'obtient en quotientant
> ^^^^ quatre évidemment, pardon !
> >F_2[X] par un polynôme irréductible de degré 2, par exemple
> >X^2+X+1 (en fait c'est le seul).
>
> J'en profite pour rappeler que, si K est un corps fini,
> alors il existe p et n, tels que p est premier et
> K est de cardinal p^n. Réciproquement, si p est
> premier et n un entier quelconque, alors on
> considère P un polynôme irréductible dans Z/pZ[X], de degré n,
> (alias F_p car p est premier), et le quotient
> (F_p[X])/(P) est un corps fini à p^n éléments.[/color]



et quelle différence entre K[x] et K(x) ?

[Anonyme]

On Tue, 17 Feb 2004 00:43:56 +0100, Fab wrote:[color=green]
>>Z/4Z est un groupe additif, et pour p premier, (Z/pZ)* est un groupe
>>multiplicatif, et je crois bien que Fp est ce dernier groupe (à p-1
>>éléments). Mais pour F4, comme 4 n'est pas premier, je ne sais pas bien à
>>quoi ça correspond.
>>C'est le corps fini à deux éléments ; on l'obtient en quotientant
>>F_2[X] par un polynôme irréductible de degré 2, par exemple
>>X^2+X+1 (en fait c'est le seul).
>>Ses éléments sont 0, 1, X et X + 1 alias 0, 1, a, b
>
>
>j'ai pas tout compris
>Z/4Z a 4 éléments ou 2 ?[/color]
Personne ne parle de Z/4Z ici. Je parle de F_4, qui a 4 éléments.
(Cf. ma correction dans un autre message.)
[Z/4Z aussi, mais ce n'est pas un corps.]

[Anonyme]

On Tue, 17 Feb 2004 00:46:38 +0100, Fab wrote:
>
>"Frederic" a écrit dans le message de news:
>slrnc30tua.li0.beal@clipper.ens.fr...[color=green]
>> On Mon, 16 Feb 2004 07:49:52 +0000 (UTC), Frederic wrote:[color=darkred]
>> >C'est le corps fini à deux éléments ; on l'obtient en quotientant
>> ^^^^ quatre évidemment, pardon !
>> >F_2[X] par un polynôme irréductible de degré 2, par exemple
>> >X^2+X+1 (en fait c'est le seul).
>>
>> J'en profite pour rappeler que, si K est un corps fini,
>> alors il existe p et n, tels que p est premier et
>> K est de cardinal p^n. Réciproquement, si p est
>> premier et n un entier quelconque, alors on
>> considère P un polynôme irréductible dans Z/pZ[X], de degré n,
>> (alias F_p car p est premier), et le quotient
>> (F_p[X])/(P) est un corps fini à p^n éléments.[/color]
>
>et quelle différence entre K[x] et K(x) ?[/color]
Qui parle de K(x) ? Moi, je parle de (P) pour P polynôme,
c'est l'ensemble PK[X] des multiples de P. C'est un
idéal de l'anneau intègre K[X], donc on peut quotienter
pour trouver un anneau. Et comme (P) est un idéal maximal
(cela car P est irréductible), K[X]/(P) est intègre. De
plus, comme il est fini, intègre c'est un corps.

Pour K(X) (dont je ne parlais pas), c'est l'ensemble des
fractions rationelles sur K, alors que K[X] est
l'ensemble des polynômes sur K. Voilà.

[Anonyme]

Frederic, dans le message (fr.education.entraide.maths:53733), a écrit :[color=green]
>>et quelle différence entre K[x] et K(x) ?
> Qui parle de K(x) ? Moi, je parle de (P) pour P polynôme,
> c'est l'ensemble PK[X] des multiples de P. C'est un
> idéal de l'anneau intègre K[X], donc on peut quotienter
> pour trouver un anneau. Et comme (P) est un idéal maximal
> (cela car P est irréductible), K[X]/(P) est intègre. De
> plus, comme il est fini, intègre c'est un corps.[/color]

Si I est un idéal maximal d'un anneau, A/I est un corps. La condition
(nécessaire et suffisante) pour que A/I soit intègre est que I soit un
idéal premier.

[Anonyme]

On Tue, 17 Feb 2004 07:11:08 +0000 (UTC), Xavier Caruso wrote:[color=green]
>> Qui parle de K(x) ? Moi, je parle de (P) pour P polynôme,
>> c'est l'ensemble PK[X] des multiples de P. C'est un
>> idéal de l'anneau intègre K[X], donc on peut quotienter
>> pour trouver un anneau. Et comme (P) est un idéal maximal
>> (cela car P est irréductible), K[X]/(P) est intègre. De
>> plus, comme il est fini, intègre c'est un corps.
>
>Si I est un idéal maximal d'un anneau, A/I est un corps. La condition
>(nécessaire et suffisante) pour que A/I soit intègre est que I soit un
>idéal premier.[/color]

Cela dit, en toute logique, I maximal => A/I intègre est vrai
aussi . Bon, d'accord, je pensais à « (P) idéal premier ». Merci
pour la correction...

[Anonyme]

"Fab" wrote in message
news:c0pgl8$9rp$1@news-reader1.wanadoo.fr...
| quelqu'un peut-il m'aider
| suis perdu
| Soit K un corps ou un anneau
| Qu'elle est la différence entre K(x) et K[x] ?

K[X] est l'anneau des polynomes en une variable dans le corps K.
K(X) est K[X] où on peu aussi diviser par des polynomes, donc le corps des
fractions de polynomes, ou les fonctions rationales.

| pourquoi K[x,y] = K[x][y] ?

K[X,Y] est l'anneau des polynomes en DEUX variables.
K[X][Y] est K[X] (voie ci-dessus), où on ajoute encore une variable, mais
on voit facilement que c'est le même d'ajouter deux variables à K, ça veux
dire, c'est K[X,Y].

d'ailleurs qu'est ce que ca signifie?

| A priori Fp = {0,1,...,p-1}=Z /pZ et en Td j'apprends que F4 =/= Z/ 4Z
je
| ne compends plus rien

Ceci est déjà répondu autrepart...

H.

[Anonyme]

Fab a écrit:
> quelqu'un peut-il m'aider
> suis perdu


[zappe]

> A priori Fp = {0,1,...,p-1}=Z /pZ et en Td j'apprends que F4 =/= Z/ 4Z je
> ne compends plus rien

Ca semble vouloir dire que si qu'il y a plusieurs groupes possibles
ayant 4 éléments ? De mémoire, il y a le 'groupe du matelas'
(retournements sur le grand coté, sur le petit, sur l'angle, et
identité) qui n'a pas la m^me table que le groupe Z/pZ (avec quelle
opération, au fait ?)