Accélération de convergence

[Anonyme]

Bonjour,

Je cherche à calculer la limite de [log(n+1) - (somme de 1 à n de 1/n)].
Pour cela je calcule la limite de la série vn=log(n+1) - log(n) -1/n qui
est égale à la limite de la suite précédente.
Je voudrais appliquer le principe d'accélération de convergence
(plusieurs fois certainement) sur vn pour calculer la limite à 10^-10 près.
Le principe d'accélération de convergence à appliquer est le suivant :
si l'on trouve une suite Un tendant vers 0 quand n tend vers +infini et
une suite epsilon(n) qui tend également vers 0 quand n tend vers +infini
telles que
U(n+1) - U(n) = v(n)*(1 + epsilon(n))
alors la limite de la série v(n) est égale à
l= -U(1) + lim [U(N+1) + (somme de 1 à N de (v(n)*epsilon(n))) quand N
tend vers +infini].
Tout ce qui est écrit précédement est juste, mon seul problème est que
je ne trouve pas de suite Un vérifiant ces conditions.

Auriez-vous une idée ?

Je vous remercie par avance pour vos réponses.

[Anonyme]

"Ludo" a écrit dans le message de news:
> Je cherche à calculer la limite de [log(n+1) - (somme de 1 à n de 1/n)].

Je crois que c'est la constante "gamma" d'Euler

[Anonyme]

Ludo wrote in message :
> Auriez-vous une idée ?


Tu devrais pouvoir trouver ton bonheur à partir du développement asymptotique
suivant :

somme(1/k,k=1..n) =

ln(n) + gamma + 1/(2n) - 1/(12n^2) + 1/(120n^4) - 1/(252n^6)
1/(240n^8) - 1/(132n^10) + O(1/n^12)

--
Yann

[Anonyme]

C'est pas une réponse à ta question, juste pour dire qu'avec la formulaire
sommatoire d'Euler (cf google) on peut obtenir un développement asymptotique
en 1/n^cekonveu de logn - Hn.


Ludo a écrit:
> Bonjour,
>
> Je cherche à calculer la limite de [log(n+1) - (somme de 1 à n de 1/n)].
> Pour cela je calcule la limite de la série vn=log(n+1) - log(n) -1/n qui
> est égale à la limite de la suite précédente.
> Je voudrais appliquer le principe d'accélération de convergence
> (plusieurs fois certainement) sur vn pour calculer la limite à 10^-10 près.
> Le principe d'accélération de convergence à appliquer est le suivant :
> si l'on trouve une suite Un tendant vers 0 quand n tend vers +infini et
> une suite epsilon(n) qui tend également vers 0 quand n tend vers +infini
> telles que
> U(n+1) - U(n) = v(n)*(1 + epsilon(n))
> alors la limite de la série v(n) est égale à
> l= -U(1) + lim [U(N+1) + (somme de 1 à N de (v(n)*epsilon(n))) quand N
> tend vers +infini].
> Tout ce qui est écrit précédement est juste, mon seul problème est que
> je ne trouve pas de suite Un vérifiant ces conditions.
>
> Auriez-vous une idée ?
>
> Je vous remercie par avance pour vos réponses.

[Anonyme]

> Tu devrais pouvoir trouver ton bonheur à partir du développement asymptotique
> suivant :
>
> somme(1/k,k=1..n) =
>
> ln(n) + gamma + 1/(2n) - 1/(12n^2) + 1/(120n^4) - 1/(252n^6)
> 1/(240n^8) - 1/(132n^10) + O(1/n^12)
Je vous remercie pour votre réponse qui me semble être une bonne piste
même si je n'ai toujours pas trouvé le "truc" pour résoudre mon problème
et que je galère et commence à désespérer.
Par contre, pourriez-vous me donner la formule "exacte" de cette
écriture ? Quel est en fait ce développement asymptotique ? Comment
obtient-on les termes 1/2n 1/(12n^2) 1/(120n^4) etc. ?

Merci beaucoup !

[Anonyme]

Ludo a écrit :[color=green]
>> Tu devrais pouvoir trouver ton bonheur à partir du développement
>> asymptotique
>> suivant :
>>
>> somme(1/k,k=1..n) =
>>
>> ln(n) + gamma + 1/(2n) - 1/(12n^2) + 1/(120n^4) - 1/(252n^6)
>> 1/(240n^8) - 1/(132n^10) + O(1/n^12)
>
> Je vous remercie pour votre réponse qui me semble être une bonne piste
> même si je n'ai toujours pas trouvé le "truc" pour résoudre mon problème
> et que je galère et commence à désespérer.
> Par contre, pourriez-vous me donner la formule "exacte" de cette
> écriture ? Quel est en fait ce développement asymptotique ? Comment
> obtient-on les termes 1/2n 1/(12n^2) 1/(120n^4) etc. ?[/color]


Par exemple en utilisant la formule sommatoire d'Euler-Maclaurin, tu
auras les détails ici :

http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/bernoulli.html

et

http://numbers.computation.free.fr/Constants/Gamma/gamma.pdf
(le même en html est illisible).

Sur le même site, il y a un article intéressant sur l'accélération de
convergence.

Pascal

[Anonyme]

Bonjour,

C'est un problème qui "sort" souvent aux concours commerçiaux....
Voir par exemple concours EDHEC 95 voie (S)cientifique sur le site des profs de
prépas
commerciales (faire APHEC sous Google).

Amitiés
--
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