Pb 1erS tangentes paraboles et fonctions du second degrés

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Anonyme

pb 1erS tangentes paraboles et fonctions du second degrés

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:23

je suis coincé à la question 5 b merci d'avance pour votre aide
voici l'énoncé tel qu'il nous est donné:

(O,i,j) un repère orthonormé. A tout point "M" de coordonnées (x;y) on
associe t² - xt + y =0 (E)

1
a démontrez que x² - 4y >0 équivaut à l'équation (E) a deux racines
distinctes

b tracez dans le repère la parabole P d'équation x²/4 puis représentez
graphiquement l'ensemble des points M pour lesquels (E) a 2 racines
distinctes; a une racine double; n'a pas de racine

2 T est un point de P d'abcisse m. prouvez que la tangente à P en T a pour
équation y= (mx/2) - (m²/4)

3 (question intermédiaire) on se propose de trouver à quelle condition
nécessaire et suffisante, une droite d d'équation y= ax+b avec a différent
de 0, est tangente à P.
a prouvez que si d est tangente à P au point A (x0 ; (x0²/4) ) alors x0 = 2a
et b = - a

b réciproquement, prouvez que la droite d'équation y= ax - a² , a différent
de 0, est tangente à P, équivaut à dire que b= - a². Et dans ce cas, le
point de contact a pour coordonnées (2a; a²)

4 on considère les équations (E1) t² - 5t + 6 =0
et (E2) t² + t - 6 =0

a vérifier que (E1) et (E2) ont une racine commune.

b placez sur la figureles points M1 et M2 associés à (E1) et (E2), démontrez
que la droite (M1M2) est tangente à P.

5 d'une manière plus générale on considère les équations:
(E1) t² + x1 +y1 =0 et (E2) t² - x2t + y2 =0
et on suppose que ces équations ont une racine commune alpha. On note
toujours M1 et M2 les points associés à ces équations. On suppose que M1
différent de M2.

a exprimez y1 en fonction de alpha et x1 et y2 en fonction de alpha et x2

b déduisez que (M1M2) a pour équation y = alpha x - alpha² et qu'elle est
tangente à la prabole P.

6 réciproquement on suppose que les points distincts M1 (x1 ; y1) et M2 (x2
; y2) sont tels que la droite (M1M2) est tangente à P.
les équations (E1) et (E2) ont-elles au moins une racine commune ?

7 est-il possible que (E1) et (E2) aient 2 racines communes lorsque x1
différent de x2 et y1 différent de y2



 

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