Pb 1er S

[Anonyme]

l'énoncé du pb est :

les triangles équilatéraux T1 et T2, d'aires respectivent S1 et S2, ont un
périmètre
total constant L.

quelle est la plus petite aire totale possible ( S1 + S2 ) des deux
triangles T1 et T2 ?

j'ai étudié le second degré etje suis en train de faire les dérivés

j'ai la solution du probleme mais j'ai un petit probleme avec celle-ci :

1er triangle : côté X1
2ème triangle : côté X2 .
3(X1+X2) = L

S1 = (X1/2)(X1.rac(3)/2) = X1".rac(3)/4
S2 = (X2/2)(X2.rac(3)/2) = X2".rac(3)/4
S1 + S2 = (X1" + X2").rac(3)/4

S1 + S2 minimum si X1"+X2" minimum.
X1"+X2" = (X1+X2)" - 2X1X2 avec X2 = (P/3) - X1.
avec X2 = (P/3) - X1.

X1"+X2" = X1" + [(P/3) - X1]" = 2X1" - 2X1.P/3 + P"/9

Parabole, minimum en X1 = P/6 d'où X2 = P/6 (si l'élève sait la dérivée
4X1 - 2P/3 = 0 )

la forme canonique d'une parabole est a(X-b)" + c
si a > 0 il y un minimum absolu en b qui vaut c
si a < 0 il y un maximum absolu en b qui vaut c
apriori c'est du cours ,prenons ton expression

2X1"- 2X1.P/3+ P"/9 = 2 (X1" - X1.P/3 )+ P"/9
= 2 (X1" - 2X1.P/6 +(P/6)") +P"/9 -2(P/6)"
= 2(X1 - P/6)" + P"/18

(ici comment fait-on pour trouver S1+S2=P".rac(3)/72 ?????? )

S1 + S2 = P".rac(3)/72.


( merci à Huché J.M.pour la solution )
( merci à ben pour ses explications )
merci de m'éclairer


Alexandre

[Anonyme]

Alexandre a *crit :

> l'énoncé du pb est :
>
> les triangles équilatéraux T1 et T2, d'aires respectivent S1 et S2, ont un
> périmètre
> total constant L.
>
> quelle est la plus petite aire totale possible ( S1 + S2 ) des deux
> triangles T1 et T2 ?
>
> j'ai étudié le second degré etje suis en train de faire les dérivés
>
> j'ai la solution du probleme mais j'ai un petit probleme avec celle-ci :
>
> 1er triangle : côté X1
> 2ème triangle : côté X2 .
> 3(X1+X2) = L
>
> S1 = (X1/2)(X1.rac(3)/2) = X1".rac(3)/4
> S2 = (X2/2)(X2.rac(3)/2) = X2".rac(3)/4
> S1 + S2 = (X1" + X2").rac(3)/4
>
> S1 + S2 minimum si X1"+X2" minimum.
> X1"+X2" = (X1+X2)" - 2X1X2 avec X2 = (P/3) - X1.
> avec X2 = (P/3) - X1.

tu changes les notations en remplaçant L par P.

>
>
> X1"+X2" = X1" + [(P/3) - X1]" = 2X1" - 2X1.P/3 + P"/9
>

>
> Parabole, minimum en X1 = P/6 d'où X2 = P/6 (si l'élève sait la dérivée
> 4X1 - 2P/3 = 0 )

Tu as correctement déterminé le minimum de la fonction, qui est bien X2 = P/6.

(Au passage, tu devrais écrire X2 = L/6 de façon à respecter les notations de
l'énoncé).

Maintenant, relis bien l'énoncé :
c'est l'aire S1 + S2 que tu dois minimiser

c'est à dire S1 + S2 = (X1"+X2") * rac(3)/4

et non pas (X1"+X2") comme tu le fais dans la suite de ton paragraphe.

>
>
> la forme canonique d'une parabole est a(X-b)" + c
> si a > 0 il y un minimum absolu en b qui vaut c
> si a apriori c'est du cours ,prenons ton expression
>
> 2X1"- 2X1.P/3+ P"/9 = 2 (X1" - X1.P/3 )+ P"/9
> = 2 (X1" - 2X1.P/6 +(P/6)") +P"/9 -2(P/6)"
> = 2(X1 - P/6)" + P"/18
>
> (ici comment fait-on pour trouver S1+S2=P".rac(3)/72 ?????? )
>
> S1 + S2 = P".rac(3)/72.
>
> ( merci à Huché J.M.pour la solution )
> ( merci à ben pour ses explications )
> merci de m'éclairer
>
> Alexandre

Reprenons :
il faut calculer la valeur de la fonction pour X2 = P/6
S1 + S2 = (X1"+X2") * rac(3)/4 (1)

ce qui est embêtant, c'est que S1+S2 est exprimé en fonction de X1 et X2.
Il faut donc remplacer X1 dans l'expression précédente.

Or tu sais que 3(X1+X2) = L (2)


en substituant (2) dans (1) , tu dois trouver l'expression

S(X2) = rac(3)/4 * (2X2" -2 L X2 / 3 + L"/9)

avec X2 = L/6
tu trouves S(L/6) = rac(3) L"/72

voilà, j'espère que c'est clair.
bon courage

pascal

[Anonyme]

Alexandre wrote:
> l'énoncé du pb est :
>
> les triangles équilatéraux T1 et T2, d'aires respectivent S1 et S2,
> ont un périmètre
> total constant L.
>
> quelle est la plus petite aire totale possible ( S1 + S2 ) des deux
> triangles T1 et T2 ?
>
> j'ai étudié le second degré etje suis en train de faire les dérivés
>
-------------
On pouvait aussi faire valoir que ces deux triangles ont des rôles
parfaitement symétriques dans l'énoncé.
En conséquence, si l'un des deux devait avoir son côté plus grand que celui
de l'autre, en inversant les rôles, on arriverait à une absurdité.
Donc les deux triangles sont identiques, de côté a =L/6 .
S1+S2 = 2xS1 = 2(a/2)(a.rac(3)/2) ) = a².rac(3)/2 = L².rac(3)/72 .
Salut,
JMH




> j'ai la solution du probleme mais j'ai un petit probleme avec
> celle-ci :
>
> 1er triangle : côté X1
> 2ème triangle : côté X2 .
> 3(X1+X2) = L
>
> S1 = (X1/2)(X1.rac(3)/2) = X1".rac(3)/4
> S2 = (X2/2)(X2.rac(3)/2) = X2".rac(3)/4
> S1 + S2 = (X1" + X2").rac(3)/4
>
> S1 + S2 minimum si X1"+X2" minimum.
> X1"+X2" = (X1+X2)" - 2X1X2 avec X2 = (P/3) - X1.
> avec X2 = (P/3) - X1.
>
> X1"+X2" = X1" + [(P/3) - X1]" = 2X1" - 2X1.P/3 + P"/9
>
> Parabole, minimum en X1 = P/6 d'où X2 = P/6 (si l'élève sait la
> dérivée 4X1 - 2P/3 = 0 )
>
> la forme canonique d'une parabole est a(X-b)" + c
> si a > 0 il y un minimum absolu en b qui vaut c
> si a apriori c'est du cours ,prenons ton expression
>
> 2X1"- 2X1.P/3+ P"/9 = 2 (X1" - X1.P/3 )+ P"/9
> = 2 (X1" - 2X1.P/6 +(P/6)") +P"/9 -2(P/6)"
> = 2(X1 - P/6)" + P"/18
>
> (ici comment fait-on pour trouver S1+S2=P".rac(3)/72 ?????? )
>
> S1 + S2 = P".rac(3)/72.
>
>
> ( merci à Huché J.M.pour la solution )
> ( merci à ben pour ses explications )
> merci de m'éclairer
>
>
> Alexandre

[Anonyme]

Dans le message :bo3i35$mon$1@news-reader5.wanadoo.fr,
Huché J.M. a écrit :
> Alexandre wrote:[color=green]
>> l'énoncé du pb est :
>>
>> les triangles équilatéraux T1 et T2, d'aires respectivent S1 et S2,
>> ont un périmètre
>> total constant L.
>>
>> quelle est la plus petite aire totale possible ( S1 + S2 ) des deux
>> triangles T1 et T2 ?
>>
>> j'ai étudié le second degré etje suis en train de faire les dérivés
>>
> -------------
> On pouvait aussi faire valoir que ces deux triangles ont des rôles
> parfaitement symétriques dans l'énoncé.
> En conséquence, si l'un des deux devait avoir son côté plus grand que
> celui de l'autre, en inversant les rôles, on arriverait à une
> absurdité.
> Donc les deux triangles sont identiques, de côté a =L/6 .
> S1+S2 = 2xS1 = 2(a/2)(a.rac(3)/2) ) = a².rac(3)/2 = L².rac(3)/72 .
> Salut,
> JMH[/color]

Bonsoir,
Ce raisonnement par symétrie est dangereux. Ici, il ne permet pas de
justifier la solution en deux triangles identiques.
Pour s'en convaincre, remarquer par exemple que le problème consistant à
maximiser la surface totale à périmètre total constant présente
exactement la même symétrie, mais pas le même résultat j'espère.

En fait, la symétrie de l'énoncé doit simplement permettre d'affirmer
que si (X1,X2) est solution, alors (X2,X1) l'est aussi.
--
Cordialement
Bruno

[Anonyme]

bc92 wrote:
> Dans le message :bo3i35$mon$1@news-reader5.wanadoo.fr,
> Huché J.M. a écrit :[color=green]
>> Alexandre wrote:[color=darkred]
>>> l'énoncé du pb est :
>>>
>>> les triangles équilatéraux T1 et T2, d'aires respectivent S1 et S2,
>>> ont un périmètre
>>> total constant L.
>>>
>>> quelle est la plus petite aire totale possible ( S1 + S2 ) des deux
>>> triangles T1 et T2 ?
>>>
>>> j'ai étudié le second degré etje suis en train de faire les dérivés
>>>
>> -------------
>> On pouvait aussi faire valoir que ces deux triangles ont des rôles
>> parfaitement symétriques dans l'énoncé.
>> En conséquence, si l'un des deux devait avoir son côté plus grand que
>> celui de l'autre, en inversant les rôles, on arriverait à une
>> absurdité.
>> Donc les deux triangles sont identiques, de côté a =L/6 .
>> S1+S2 = 2xS1 = 2(a/2)(a.rac(3)/2) ) = a².rac(3)/2 = L².rac(3)/72 .
>> Salut,
>> JMH[/color]
>
> Bonsoir,
> Ce raisonnement par symétrie est dangereux. Ici, il ne permet pas de
> justifier la solution en deux triangles identiques.
> Pour s'en convaincre, remarquer par exemple que le problème
> consistant à maximiser la surface totale à périmètre total constant
> présente exactement la même symétrie, mais pas le même résultat
> j'espère.
>
> En fait, la symétrie de l'énoncé doit simplement permettre d'affirmer
> que si (X1,X2) est solution, alors (X2,X1) l'est aussi.[/color]
-----------
Je le sais, et la remarque est tout à fait judicieuse, mais force est de
reconnaître que c'est souvent le cas.
Ceci dit, quelle que soit la formulation du problème, on retombe sur ce que
j'appelerai des "états stables", soit d'égalité, soit avec un des résultats
nul, la solution de la maximisation étant probablement a = L/3 pour l'un et
b = 0 pour l'autre, sans avoir du tout vérifié (on devrait cependant être
au bout du domaine de définition de la parabole).
JMH