Pb 1er S

[Anonyme]

Je suis coincé sur un petit exercie :

Déterminez les dimensions du cylindre de volume maximal inscrit dans une
sphère de rayon R.

J'ai "coupé" la sphère. Le rectangle ABCD est donc inscrit dans le cercle de
rayon R et de centre O. Je nomme I le point d'intersection entre le segment
[AB] et la droite perpendiculaire en passant par O.

Avec Thalès je déduis que BA = R*BI et que BI = BA/R

Mais ? ...

On m'a dit qu'il fallait utiliser la dérivée mais je ne sais pas comment.

Merci de m'aider .

[Anonyme]

Alexandre écrivait :

> Déterminez les dimensions du cylindre de volume maximal inscrit
> dans une sphère de rayon R.

Je crois que c'est un problème du Concours général de maths.
Tu peux regarder dans les annales.

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

In news:3ff1cf8e$0$29059$636a55ce@news.free.fr,
Alexandre typed:
> Je suis coincé sur un petit exercie :
>
> Déterminez les dimensions du cylindre de volume maximal inscrit dans
> une sphère de rayon R.
>
> J'ai "coupé" la sphère. Le rectangle ABCD est donc inscrit dans le
> cercle de rayon R et de centre O. Je nomme I le point d'intersection
> entre le segment [AB] et la droite perpendiculaire en passant par O.
>
> Avec Thalès je déduis que BA = R*BI et que BI = BA/R
>
> Mais ? ...
>
> On m'a dit qu'il fallait utiliser la dérivée mais je ne sais pas
> comment.
>
> Merci de m'aider .

Bonjour,
Appelons R le rayon de la sphère, r le rayon du cylindre, et 2h la
hauteur du cylindre.
On a R²=r²+h² (Pythagore). Donc r²=R²-h².
Le volume du cylindre est donc V=..... (en fonction de h uniquement,
après avoir remplacé r par son expression en fonction de h). V est une
fonction de h définie sur [0,R].
Ce volume est positif, sauf en h=0 et h=R où il est nul, il passe donc
par un maximum lorsque h varie.
Pour trouver le maximum, dériver V par rapport à l'inconnue h et annuler
la dérivée, car une fonction définie sur un intervalle est maximale soit
à une extrémité de l'intervalle soit en un point où sa dérivée est
nulle.
Ca donne la demi-hauteur h du cylindre de volume maximal. En l'occurence
h=R/rac(3).
(Si la nullité de la dérivée donnait plusieurs solutions en h, il
faudrait comparer les volumes pour ces différentes valeurs h, mais ce
n'est pas le cas ici).

--
Cordialement,
Bruno

[Anonyme]

--------Je coupe la sphère autrement -----------

Soit une sphère de rayon R et de centre O , et un cylindre inscrit de façon
verticale . Le plan vertical qui coupe la sphère en passant par O coupe
également le cylindre en son milieu et perpendiculairement par rapport aux
cercles de base .

L'intersection de ce plan avec la sphère donne lieu à un rectangle ABCD
avec AB diamètre du cercle base supérieure du cylindre , CD diamètre du
cercle base inférieure du cylindre .

Les diagonales de ce rectangle se coupent en O et avec OA = OB = OC = OD = R

Soit I milieu de AB , alors I est le centre du cercle base supérieure du
cylindre et IO est perpendiculaire à AB . On appelle x = IO

Pythagore dans AIO : AO² = R² = AI² + x² soit AI = rac(R² - x²) [
racine carrée de (R² - x²) ]

Donc le cylindre cherché a pour hauteur 2x et pour rayon AI = rac(R² - x²)



V(x) = volume cylindre = surface de la base * hauteur

V(x) = pi * [ rac(R² - x²) ] ² * 2x = 2 * pi * ( xR² - x3)

Dérivons

V'(x) = 2*pi*(R² - 3x²) = 2*pi*(R - x*rac(3))* (R + x*rac(3))

Selon tableau des signes pour V' on a:

V'(x) > 0 pour x de 0 à R/rac(3) donc V(x) croissante

Et V'(x) a écrit dans le message de
news:3ff1cf8e$0$29059$636a55ce@news.free.fr...
> Je suis coincé sur un petit exercie :
>
> Déterminez les dimensions du cylindre de volume maximal inscrit dans une
> sphère de rayon R.
>
> J'ai "coupé" la sphère. Le rectangle ABCD est donc inscrit dans le cercle
de
> rayon R et de centre O. Je nomme I le point d'intersection entre le
segment
> [AB] et la droite perpendiculaire en passant par O.
>
> Avec Thalès je déduis que BA = R*BI et que BI = BA/R
>
> Mais ? ...
>
> On m'a dit qu'il fallait utiliser la dérivée mais je ne sais pas comment.
>
> Merci de m'aider .
>
>
>

[Anonyme]

"bc92" a écrit dans le message de news:
3ff2b043$0$22321$626a54ce@news.free.fr...
> In news:3ff1cf8e$0$29059$636a55ce@news.free.fr,
> Alexandre typed:[color=green]
> > Je suis coincé sur un petit exercie :
> >
> > Déterminez les dimensions du cylindre de volume maximal inscrit dans
> > une sphère de rayon R.
> >
> > J'ai "coupé" la sphère. Le rectangle ABCD est donc inscrit dans le
> > cercle de rayon R et de centre O. Je nomme I le point d'intersection
> > entre le segment [AB] et la droite perpendiculaire en passant par O.
> >
> > Avec Thalès je déduis que BA = R*BI et que BI = BA/R
> >
> > Mais ? ...
> >
> > On m'a dit qu'il fallait utiliser la dérivée mais je ne sais pas
> > comment.
> >
> > Merci de m'aider .
>
> Bonjour,
> Appelons R le rayon de la sphère, r le rayon du cylindre, et 2h la
> hauteur du cylindre.
> On a R²=r²+h² (Pythagore). Donc r²=R²-h².
> Le volume du cylindre est donc V=..... (en fonction de h uniquement,
> après avoir remplacé r par son expression en fonction de h). V est une
> fonction de h définie sur [0,R].
> Ce volume est positif, sauf en h=0 et h=R où il est nul, il passe donc
> par un maximum lorsque h varie.
> Pour trouver le maximum, dériver V par rapport à l'inconnue h et annuler
> la dérivée, car une fonction définie sur un intervalle est maximale soit
> à une extrémité de l'intervalle soit en un point où sa dérivée est
> nulle.[/color]

Ici, j'ai V= ( pi*r² ) * 2h, V= ( pi* ( R²-h²)) * 2h. Pour dériver V
j'applique la méthode ( u*v dérivé donne u' v + v' u ) mais là je bloque !
Je ne sais pas comment je dois dériver pi ( R² -h²) !? Est ce que cela
donne 2R-2h ?


> Ca donne la demi-hauteur h du cylindre de volume maximal. En l'occurence
> h=R/rac(3).
> (Si la nullité de la dérivée donnait plusieurs solutions en h, il
> faudrait comparer les volumes pour ces différentes valeurs h, mais ce
> n'est pas le cas ici).
>
> --
> Cordialement,
> Bruno
>

[Anonyme]

Am 31/12/03 14:06, sagte Alexandre (kamal.b@free.fr) :

[color=green]
>> Bonjour,
>> Appelons R le rayon de la sphère, r le rayon du cylindre, et 2h la
>> hauteur du cylindre.
>> On a R²=r²+h² (Pythagore). Donc r²=R²-h².
>> Le volume du cylindre est donc V=..... (en fonction de h uniquement,
>> après avoir remplacé r par son expression en fonction de h). V est une
>> fonction de h définie sur [0,R].
>> Ce volume est positif, sauf en h=0 et h=R où il est nul, il passe donc
>> par un maximum lorsque h varie.
>> Pour trouver le maximum, dériver V par rapport à l'inconnue h et annuler
>> la dérivée, car une fonction définie sur un intervalle est maximale soit
>> à une extrémité de l'intervalle soit en un point où sa dérivée est
>> nulle.
>
> Ici, j'ai V= ( pi*r² ) * 2h, V= ( pi* ( R²-h²)) * 2h. Pour dériver V
> j'applique la méthode ( u*v dérivé donne u' v + v' u ) mais là je bloque !
> Je ne sais pas comment je dois dériver pi ( R² -h²) !? Est ce que cela
> donne 2R-2h ?[/color]

dérivée par rapport à h, R est considéré comme constant et donc cela donne
-2*pi*h


albert

--
S'il n'y a pas de solution, c'est qu'il n'y a pas de problème (J. Rouxel)

(enlevez les *** pour me répondre en privé)

[Anonyme]

"albert junior" a écrit dans le message
de news: BC18A51E.1D653%alberteinstein588***@hotmail.com...
> Am 31/12/03 14:06, sagte Alexandre (kamal.b@free.fr) :
>
>[color=green][color=darkred]
> >> Bonjour,
> >> Appelons R le rayon de la sphère, r le rayon du cylindre, et 2h la
> >> hauteur du cylindre.
> >> On a R²=r²+h² (Pythagore). Donc r²=R²-h².
> >> Le volume du cylindre est donc V=..... (en fonction de h uniquement,
> >> après avoir remplacé r par son expression en fonction de h). V est une
> >> fonction de h définie sur [0,R].
> >> Ce volume est positif, sauf en h=0 et h=R où il est nul, il passe donc
> >> par un maximum lorsque h varie.
> >> Pour trouver le maximum, dériver V par rapport à l'inconnue h et[/color][/color]
annuler[color=green][color=darkred]
> >> la dérivée, car une fonction définie sur un intervalle est maximale[/color][/color]
soit[color=green][color=darkred]
> >> à une extrémité de l'intervalle soit en un point où sa dérivée est
> >> nulle.
> >
> > Ici, j'ai V= ( pi*r² ) * 2h, V= ( pi* ( R²-h²)) * 2h. Pour dériver V
> > j'applique la méthode ( u*v dérivé donne u' v + v' u ) mais là je bloque[/color][/color]
![color=green]
> > Je ne sais pas comment je dois dériver pi ( R² -h²) !? Est ce que cela
> > donne 2R-2h ?[/color]

Je pense que je me suis trompé, 2h n'est pas le rayon mais la hauteur du
coup ça ne marche plus. J'ai vérifié et refais le problème avec l'aide de
chacun de vous et je trouve aussi x=R/(rac(3))

Merci à vous

> dérivée par rapport à h, R est considéré comme constant et donc cela donne
> -2*pi*h
>
>
> albert
>
> --
> S'il n'y a pas de solution, c'est qu'il n'y a pas de problème (J. Rouxel)
>
> (enlevez les *** pour me répondre en privé)
>