1) Déterminer les couples pour lesquels
2) Définition et calcul de :
Une série de couples ...
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Une série de couples ...
par Elerinna » 19 Avr 2012, 14:56
Pour  \in \mathbb{R}^2)
, on pose :  = \bigsum_{n=1}^{+\infty} \frac{a^n + b^n}{n^2})
1) Déterminer les couples pour lesquels)
converge.
2) Définition et calcul de :)
et )
1) Déterminer les couples pour lesquels
2) Définition et calcul de :
par Matt_01 » 19 Avr 2012, 20:39
On voit clairement que la série converge ssi )
appartient à 
Alors facilement, S(x,x/(x-1)) existe pour x entre -1 et 1/2, et l'autre pour x entre 0 et 1.
Ensuite, à l'aide de l'utilisation de la série entière associée, on montre que :
 = \int_0^{a} \frac{-ln(1-u)}{u} du + \int_0^{b} \frac{-ln(1-u)}{u} du)
Maintenant, via des changements de variable (u = t/(t-1) et u=1-t) je trouve :
 =\frac{\pi^2}{6} -ln(1-x)ln(x))
(prolongé par continuité en 0 et 1 par 
)
et) = -\frac12 ln^2(1-x))
Alors facilement, S(x,x/(x-1)) existe pour x entre -1 et 1/2, et l'autre pour x entre 0 et 1.
Ensuite, à l'aide de l'utilisation de la série entière associée, on montre que :
Maintenant, via des changements de variable (u = t/(t-1) et u=1-t) je trouve :
et
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