Une intégrale

[aviateur]

Bonjour
Sur un autre forum quelqu'un a posé une question de calcul intégral mais je ne vois pas la réponse.
Je la repose donc ici.

Cartan (Théorie élémentaire des fonctions analytiques ... page 203) demande de calculer l'intégrale
en intégrant la forme différentielle correspondant sur un circuit contournant 1, j et j^2 en passant par 0.

Ne voyant pas le contour j'ai reposé donc demandé si il avait une connaissance plus précise de ce contour voici aa réponse.

Le circuit part de 1 (en l'évitant) va vers 0 (segment avec partie imaginaire positive) puis petit arc de cercle autour de 0 pour rejoindre j avec un segment "par la droite" puis arc de cercle autour de j pour rejoindre 0 par un segment puis petit arc de cercle autour de 0 et segment pour rejoindre j^2 "par le haut" ; on tourne un peu autour de j^2 puis on rejoint 0 (segment par le bas) et enfin on rejoint 1 par un segment à partie imaginaire négative et un petit arc de cercle. Je ne sait pas si je suis très clair ...
Une sorte d'hélice à trois pales.

[aviateur]

Bonjour, si on pose le calcul se ramène à celui de l'intégrale où encore à celui de


Or le calcul de J peut se faire par la méthode des résidus. C'est un peu long donc je ne détaille pas les calculs et donne simplement l'idée de la démarche.

1. Soit une coupure de . Pour on définit
. Ainsi définit une fonction analytique
sur

2. Pour on vérifie que F ne présente pas de discontinuité. Ainsi F est prolongeable par continuité sur

3. Par contre pour il y a discontinuité (faire les calculs car on les utilise pour le résultat final.

4. Pour |z|>1, on calcule le développement en série de Laurent et surtout le résidu de F.
On obtient donc pour tout lacet entourant [0,1] la valeur de l'intégrale

5. Puis la valeur de l'intégrale cherchée grâce à 3 et avec des lacets de plus en plus proche de [0,1]..


Si on ne veut pas faire le changement de variable on peut surement procéder de même en partitionnant le plan complexe en 3 parties, les coupures formant des angles de
Considérer la fonction ou bien et montrer qu'il n'y a pas de discontinuité sur les coupures en les points de module >1.
J'ai essayé de le faire mais sans succès à cause d'erreurs de calculs (surement).

[aviateur]

Bonjour, Finalement j'ai trouvé la solution pour le calcul de I .

On pose
1. On utilise la coupure pour définir la fonction analytique h sur par

où l'on a posé et



On remarquera que est le prolongement analytique de la fonction définie à l'intérieur du disque unité par la série


2. Cela nous permet de définir la fonction sur par


Puis la fonction par


Etant donné les considérations précédentes il est facile de voir que est analytique sur le domaine où est le réseau étoilé constitué des 3 segments (ici ).

D'autre par grâce à (Eq1) on peut voir que admet un développement en série de Laurent sur le domaine des et que On en déduit par le théorème des résidus que
sur tout lacet entourant le réseau E


En prenant une suite de lacets approchant la limite sera déterminée par les sauts de discontinuité de à travers chaque branche.

3. Calcul des sauts de discontinuité.

D'abord on remarque donc il suffit de calculer les sauts de discontinuité à travers le segment


Soit et Un calcul montre


De même, si Un calcul montre


4. En conclusion par passage à la limite on obtient



d'où le résultat