Systeme

[lapras]

Bonjour,
encore un exo d'entrainement aux OIM :
Résoudre le systeme:


...


Tel que |a|>1
Bon courage !
:happy2:

[ThSQ]

Etrange exo, pas facile de savoir par quel bout le prendre.

a > 1

Si alors mais si
Conclusion : .
Si alors a soit , ... etc jusqu'à la fin.
Mais comme est pris arbitrairement ici on obtient que les sont tous identiques, i.e la solution positive de .

Si
C'est un peu plus compliqué, les sont égaux de deux en deux. Ca doit se finir de la même façon mais là je craque :marteau:


a < -1

Il suffit de pendre les - trouvés avant.

[lapras]

salut,
quelques remarques :
-Tu n'as pas traité le cas ou x1<=x2 ?
-Tu as écrit x3>=x2 , ca ne serait pas le contraire ?
En fait moi dans mon raisonnement (que je n'ai pas fini, j'avais pas totalement réussi l'exo, même si j'avais eu une bonne partie de ces idées), j'avais fait une "montée infinie" qui montre que si x1>=x2, alors x2>=x3 ...
x999>=x1000 => x999²>=x1000² => x1000>=x1
c'est impossible que le plus petit soit plus grand que le plus grand lol
donc c'est absurde
si x1<=x2, alors
x1²<=x2² => x2<=x3 => x3<=x4 => ... => x999<=x1000 => x999²<= x1000² => x1000 >= x1
impossible
puisque x1<=x2 et x2>=x1000

donc seule solution dans le cas xi>=0 : x1 = x2 = ... = x1000 donc apres on a un trinome du second degré à résoudre

La partie du raisonnement sur laquelle je bloque un peu c'est le x1<0
Tu peux m'aider ?
merci beaucoup^
:happy2:

[ThSQ]

-Tu n'as pas traité le cas ou x1=x2 , ca ne serait pas le contraire ?

Oui tu as raison pour le 2ème point, je vais corriger.

Le problème reste identique si on fait x_1 -> x_2, x_2 -> x_3 ....
C'est ce uqe je voulais dire par "Mais comme x_1 est pris arbitrairement ici"
On peut prendre si on veut et jouer avec.

Donc c'est pas la peine de traiter le cas x1<=x2.


Dans le cas x_1 < 0, montre avec le même genre d'"astuces" que et
J'ai pas été plus loin (j'ai déjà passé trop de temps sur cet exo :mur: :marteau: :hum: ) !

[lapras]

Ok !
Tu as passé combien de temps pour avoir un ordre d'idée ?
Parce que j'ai mis vraiment beaucoup de temps (1h30) dessus, (bon bien sur pas a fond)...

[lapras]

Juste une remarque,
EDIT : nan désolé ma remarque est fausse

[ThSQ]

Tu as passé combien de temps

Un peu le matin mais sans grande motivation (mé kéké cé ké cé truk !), plus l'après midi. Une bonne heure donc sans doute !

[lapras]

Okay ;)
:

[alben]

Bonsoir,
Je ne sais pas si ça peut aider ou embrouiller !
mon idée, quand j'ai lu ton message était de retourner les formules

Cela définit une suite infinie avec la contrainte supplémentaire
Si cette suite est convergente, x1 sera obligatoirement égal à la limite donnée par la formule valable quel que soit le signe de a
Reste à regarder ce qui se passe selon la valeur de départ.
Si la suite est monotone et divergente
Sinon elle peut avoir deux valeurs d'adhérence qui seront également solutions.
Par exemple pour a=1,1, on a au moins 3 solutions pour x1 : -0,2458; -0,5913 ; -0,8541,

[lapras]

Salut alben,
en fait je pense que tu emploies des notions trop compliquées (dans le sens pour un exercice d'olympiade).
Cet exercice devrait pouvoir être fait par un éleve de 1ere, la notion de série m'est inconnue :(
Qu'est ce qu'une "valeur d'adhérence ?

Merci quand même alben, je vais essayer de me renseigner sur les séries, et je reviens vers ta solution :happy2:

Bonne soirée !

[alben]

Désolé j'ai écrit série à la place de suite, je corrige
L'idée c'est que l'on peut calculer tous les xi avec la formule donnée et qu'il n'y a pas de raison de s'arréter à 1000... Mais pour respecter les formules, il faut que le 1001 ième terme ainsi calculé redonne le premier, donc le 1002 ième le second etc...
Que peut-il arriver à notre suite infinie ?

• soit elle croit ou décroit indéfiniement et il n'y a aucune chance pour que l'on retombe sur le premier. Une simple étude du signe du trinome nous donne la réponse (c'est un peu fastidieux car il faut distinguer selon le signe de a)
• soit elle se rapproche d'une limite qui sera forcément la valeurt constante de tous les xi
• soit elle oscille entre deux (ou plus) valeurs dont elle se rapproche et qui sont solutions

Sur le dernier point, une valeur d'adhérence, c'est tout simplement une valeur dont une partie de la suite se rapproche. Par exemple, la suite se rapproche de 1 pour les termes impairs et de 0 pour les termes pairs.
Nb si elle oscille entre deux valeurs, elles sont bien solutions mais avec 3 ça ne marcherait pas car 1000 n'est pas divisible par 3
Si tu veux voir ce que ça donne essaie de simuler ta suite avec a=1,2 comme points de départ -0.9, -0.6 et 0

[lapras]

Ok.Mais qu'est ce qu'une valeur d'adhérence ?

[alben]

J'ai complété le message précédent

[lapras]

Là où je ne te suis pas, c'est quand tu parles de suite infinie
Notre suite est circulaire, non ?
Elle repart au début quand elle arrive à 1001 ?
Donc pourquoi parler de (dé)croissance infinie ?

[alben]

Oui c'est là le point intéressant.
Je retiens uniquement la formule qui me donne x(k+1) à partir de x(k).
Ca permet d'obtenir une suite infinie.
L'intérêt c'est que c'est plus facile à analyser : si elle est convergente, cela veut dire que le terme calculé à partir du millième sera plus près de la limite que le premier. Donc la seule valeur possible est précisement la limite.
Si un des xi dépasse en valeur absolue un certain seuil, elle part vers l'infini (en plus ou en moins), donc pas de solution.
Si elle alterne entre 2 valeurs, ces deux valeurs sont solutions, si elle alterne entre 3 valeurs d'adhérence : pas de solution, entre 4 valeurs, elles sont solutions, entre 5 aussi mais pas avec 6...
C'est paradoxalement plus simple d'étudier ce qui se passe à l'infini...

[lapras]

Je suis pas sur d'avoir tout pigé, donc j'exprime ce que je pense avoir compris :
On a une suite dont les 1000 premieres valeurs correspondent aux xi (1<= i <= 1000 , i entiers)
On VEUT que cette suite soit circulaire, c-a-d que
Si U converge, alors les seront plus proches de la limites que les xi
Or comme on veut que cette suite soit circulaire, la seule valeur possible pour éviter que U ne soit pas circulaire est la limite donnée par ta formule.


Si un xi dépasse (en valeur absolue) la limite donnée par ta formule, alors c'est impossible que la suite converge car justement un terme la dépasse et la suite est croissante.
donc la suite diverge, donc elle n'est pas circulaire, mais ca ne veut pas dire qu'il n'ya pas de solution aux xi, ca veut juste dire qu'on pourra pas travailler avec une suite circulaire, nan ?

J'ai un peu de mal à me voir comment utiliser une suite justement infinie mais circulaire, la valeur que tu me donnes (ta formule), donne la valeur des xi justement pour que la suite soit circulaire, mais je ne vois pas l'intéret.

Merci de tes explications
Lapras

[alben]

En refléchissant, on peut raisonner différement et sans doute de manière plus simple :
Ta suite doit boucler, les seules possibilités sont
1 tous les termes sont constants : solution de l'équation X²-aX-1=0 en éliminant une des deux selon le signe de a
2 la suite a un cylce de longueur 2 = x1=x3=x5... et x2=x4=x6...., ce sont les solutions de l'équation (X²-aX-1)(X²+aX+a²-1)=0
3 la solution a un cycle de longueur 4
4 la solution a un cycle de longueur 5
puis 8,10 (tous les diviseurs de 1000). A chaque fois les solutions antérieures seront incluses...
Bon, il est tard, j'essaie de développer ça demain
Bonne nuit

[lapras]

Ok je vois a peu pres (du moins je pense) comment tu raisonnes.
Tu fait en sorte que la suite soit circulaire, et pour ceci, tu fais des cycles
Mais qui te dit que par exemple le cycle 5
x1 = x5 = x10 = ...
est solution ?
où fait on intervenir le |a|>1 ?
Oui effectivement il est tard, je vais y aller aussi
Bonne nuit,
A demain :happy2:
Ps : Bravo pour ton 1000eme message :ptdr:

[alben]

Bonjour,
Merci mais je n'arrive pas à accorder de l'importance au nombre de messages

Tu fait en sorte que la suite soit circulaire, et pour ceci, tu fais des cycles
Mais qui te dit que par exemple le cycle 5
x1 = x5 = x10 = ... est solution ?

Attention c'est x1=x6=x11=x16...=x1001.
Finalement, le passage par les suites n'est pas aussi efficace que je le pensais.
Avec un peu de recul, voilà où j'en suis :
Ton système contient autant de variables que d'équations, on peut donc essayer de les éliminer une par une pour ne garder qu'une seule : par exemple . De toutes façons on arrive à une équation de degré énorme () qui aura potentiellement autant de racines, soit à peu près autant que d'atomes dans l'univers.
Parmi toutes ces solutions, on peut déjà privilégier les cycles de longueur 1 et 2 pour lesquels les calculs sont aisés.
Dans le cas de longueur 1, les valeurs possibles sont la solution d'une équation du second degré dont le discriminant est positif : les deux racines sont donc solutions (contrairement à ce que j'avais écrit à partir de suites, car l'une des deux est instable).
Pour les cycles de longueur 2, elles seront solutions de l'équation X²+aX+a²-1=0 dont le discriminant vaut 4-3a². Il n'y a donc de solutions que pour
Ainsi, pour |a| compris entre 1 et 1,15 j'ai déjà 4 solutions alors que s'il est supérieur à 1,16 je n'en ai plus que deux.
Potentiellement tous les cycles de longueur égale à un diviseur de 1000 (y compris 1000 lui-même) sont possibles mais je pense que la condition sur a doit permettre de montrer que la longueur des cycles ne peut dépasser 2.
Je vais y réfléchir et regarder ce qui se passe pour des cycles de longueur 4 :doh:

[ThSQ]

J'ai pas tout lu mais vous cherchez trop compliqué ! Comme l'a dit Lapras c'est niveau lycée.

Si xi < 0

Alors si alors soit
Etc .....
Comme est pris arbitrairement et que c'est cyclique ça donne que et

Ca se réduit donc aux deux premières équations.
Comme ça vite fait ça a l'air d'être et là c'est quasi fini.