Systéme compliqué OIM

[mathlegend]

résoudre dans R le systéme suivant

x+xy+xyz=12
y+yz+yxz=21
z+zx+zyx=30

[Ericovitchi]

Pas si simple. Personnellement j'ai trouvé 3 séries de solutions :

x = -12/5, y = 21/4, z = -15/7

x = -2, y = 7, z = -2

x = 1, y = 1, z = 10

[Zweig]

Salut

Il est clair qu'aucune des variable ne peut être nulle. On appelle dans l'ordre (haut en bas) L1, L2 et L3 les relations du système. Si (x,y,z) est solution du système initial, alors le triplet est aussi solution du système suivant, obtenu en faisant z*L1 - L3, y*L3 - L2, x*L2 - L1 :





Ainsi on peut exprimer x et y en fonction de z, donc le système admet une infinité de solutions ...

[Ericovitchi]

Je ne te comprends pas bien là Zweig, elles ne sont pas dépendantes ces 3 équations à 3 inconnues. Comment conclus-tu plus exactement au fait qu'il y a une infinité de solutions ?

Ou alors, serais-tu capable dans cette infinité d'en exhiber une qui ne soit pas dans celles que j'ai données ?

[Zweig]

Bah des deux premières j'en déduis que et de la première et de la dernière, .

Ainsi les triplets solutions sont et permutations.

Non ?

[Zweig]

Après faudrait faire la réciproque, mais j'ai un peu la flemme et j'ai pas Maple ou équivalent ^^

[Ericovitchi]

Oui mais il y a quelque chose qui cloche. Par exemple j'ai essayé de retrouver mes solutions avec tes solutions génériques. Par exemple celle qui vaut 1,1,10

si on fait t=10 dans tes équations, on trouve 1;21/11;10 (et pas 1;1;10) et quand on remplace, ça n'est pas solution.

[Zweig]

Oui, j'ai du me planter dans les coeff, mais en effectuant les transformations sur les lignes comme j'ai fait, on retombe bien sur un système équivalent où deux des inconnues sont fonction de la dernière ...

[Ben314]

Salut,
Ce qui "cloche à peine", c'est que, quand on résoud un système, on "jette pas à la poubelle" des équations comme ça nous chante (en particulier, un système à 3 équations ne devient pas un système à deux équations jusque parce que ça nous arrange...) !!!

P.S. on peut se ramener assez facilement à une équation du troisième degrés (par exemple en x) qui a (heureusement) trois racines dans Q, donc trouvables sans sortir l'artillerie lourde.
Il y a donc 3 solutions (celles Ericovitchi)

[Zweig]

Bah j'en ai pas mis à la poubelle, en gros j'ai soustrait les relations du deuxième système deux à deux ...

[Ben314]

Si tu as "rien mis à la poubelle", ben tu devrait pas trouver une infinité de solution à un système qui en a... trois !!!!

Et si effectivement tu as écrit une annerie du style que
x=a
y=b
z=c
équivaut à
x-y=a-b (1)
y-z=b-c (2)
z-x=c-a (3)
ben tu vérifiera que effectivement, ça consiste à jeter une équation à la poubelle vu que (3)=-(1)-(2)