Suite bornée

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
MMu
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Suite bornée

par MMu » 02 Mai 2021, 18:30

Montrer qu'il existe une suite bornée de réels positifs telle que
:frime:



DamX
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Re: Suite bornée

par DamX » 04 Mai 2021, 00:01

Hello,

On coupe [0,2] en 2, puis encore en 2, etc, en prenant les trous au fur et à mesure :


On a, en comparant Xi à n'importe quel Xj (j<i), toujours une distance superieure à (et égale à un multiple de) 1/2^n où 2^n est la puissance de 2 immediatement plus petite que i.

A fortiori,

L'expression étant symétrique en i,j, on peut laisser tomber la contrainte j<i.

Et voilà.

Edit: oups, il n'aime pas les line breaks \\ et je ne sais pas comment lui faire autrement

MMu
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Re: Suite bornée

par MMu » 04 Mai 2021, 23:35

Sans une définition formelle/claire de la suite , j'ai du mal à accepter ce que tu affirmes :frime:

DamX
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Re: Suite bornée

par DamX » 05 Mai 2021, 02:32

Si il n'y a que ça

et


qui est la même chose.

De là facile de voir que .

Et que x_i dans la tranche correspondant à n est de la forme (2*j+1)/2^n ie 'impair' / 2^n.

Pour j<i, s'il tombe dans la même tranche 'n', il est distant d'au moins 2 / 2^n de x_i.
S'il est dans une tranche plus basse p=n-k, alors x_j s'ecrit sous la forme ie 'pair'/2^n et donc distant de x_i d'au moins 1/2^n.

et comme 2^n < i, on raccroche les wagons du premier message.

Mieux ?

MMu
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Re: Suite bornée

par MMu » 05 Mai 2021, 07:37

Oui c'est ok maintenant, super.
C'est peut être plus simple d'écrire : avec .
Dans ce cas le diamètre de la suite est 2. On peut montrer assez facilement que les suites qui vérifient l'énoncé doivent avoir un diamètre
Mais on ne connait pas quelle est la borne inférieure de ce diamètre !

DamX
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Re: Suite bornée

par DamX » 05 Mai 2021, 22:29

et en effet on sent bien qu'il y a pas mal de mou pour faire plus dense, vu la contrainte largement plus forte que vérifie cette suite

Ca fait quelques années que je n'étais pas passé sur le forum, ça fait plaisir de dérouiller un peu les méninges ! :mrgreen:

 

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