Hello,
On coupe [0,2] en 2, puis encore en 2, etc, en prenant les trous au fur et à mesure :

On a, en comparant Xi à n'importe quel Xj (j<i), toujours une distance superieure à (et égale à un multiple de) 1/2^n où 2^n est la puissance de 2 immediatement plus petite que i.
A fortiori,
)
L'expression étant symétrique en i,j, on peut laisser tomber la contrainte j<i.
Et voilà.
Edit: oups, il n'aime pas les line breaks \\ et je ne sais pas comment lui faire autrement