Somme de matrices inversibles

[L.A.]

Bonjour à tou.te.s,

soient K un corps et n>0 un entier. Peut-on écrire toute matrice de M_n(K) comme la somme de deux matrices inversibles ?

J'ai abouti à une conclusion mais j'aimerais savoir s'il y a plus simple que ce que j'ai fait.

[GaBuZoMeu]

Étant donné , je partirais sur la considération des matrices pour . Dans le cas d'un corps fini, ça se complique.

[L.A.]

Tout à fait, c'est le premier des deux ingrédients principaux.

[GaBuZoMeu]

Dans le cas des corps infinis, ça se termine pratiquement ici.
As-tu traité le cas des corps finis ?

[L.A.]

Oui j'ai fait les corps finis, mais il faut d'abord réduire la matrice.

[Idriss]

@L.A. : dans le cas des corps finis tu peux te servir avec avantage du théorème suivant :

et sont équivalentes ssi .

Définition : est équivalente à si tel que : .

une justification ici : https://cahier-de-prepa.fr/mpsi2-kerich ... oad?id=727

[GaBuZoMeu]

On est bien d'accord qu'il est inutile de réduire dans le cas d'un corps infini ?
Dans le cas d'un corps à plus de deux éléments, on peut effectivement se ramener par équivalence à une matrice diagonale qui n'a que des 1 ou des 0 sur la diagonale.
Reste le cas du corps à deux éléments, et là pour commencer il y a un os avec les matrices 1x1.

[Idriss]

Le problème ne se posent qu'avec les matrices de rang impairs, dans le cas du corps à 2 éléments.

[L.A.]

@Idriss : Oui, les matrices équivalentes sont le deuxième ingrédient.

@GaBuZoMeu : le polynôme caractéristique suffit pour le cas des corps infinis.
Pour les corps finis on passe par la réduction en une matrice équivalente (diagonale, formée de 1 et de 0)
Les corps à 3 éléments ou plus sont vite traités, il reste le corps à 2 éléments.

[GaBuZoMeu]

Pour les rangs impairs >1, on peut bricoler :

Reste qu'il faut modifier l'énoncé en ajoutant "sauf pour les matrices 1x1 sur le corps à deux éléments".

[Idriss]

"sauf pour les matrices 1x1 sur le corps à deux éléments".

Tu veux dire sauf pour la matrice identité en dimension 1, sur le corps à 2 éléments.

[GaBuZoMeu]

L'énoncé dit "toute matrice de ", et donc il n'est pas vrai pour .

[Idriss]

Ok

[L.A.]

Reste qu'il faut modifier l'énoncé en ajoutant "sauf pour les matrices 1x1 sur le corps à deux éléments".

C'est bien le seul cas où c'est impossible (matrice identité dans M_1(F_2)).
Rmq : j'ai posé l'énoncé sous forme de question, je n'ai pas affirmé que c'est toujours possible.

Pour ma part, j'avais suivi la méthode suivante :
la matrice identité I dans M_n(F_2) se décompose en somme de deux matrices inversibles si n>1,
en effet soit Q la matrice compagnon qui a pour polynôme caractéristique c(X) = X^n + X + 1
et soit P = I-Q, alors Q est inversible car det(Q) = c(0) = 1 et P est inversible car det(P) = c(1) = 1.

La matrice nulle s'écrit bien entendu P+P, et la matrice
s'écrit .
On raisonne ensuite par blocs.

[GaBuZoMeu]

Ton argument avec la matrice compagnon est joli. Il n'empêche qu'il faut bidouiller un peu pour le cas du corps à deux éléments.