Montrer que
J'ai une méthode un peu "bourrin", j'suis curieux de savoir s'il existe plus simple.
Matrices entières
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Matrices entières
par Matt_01 » 01 Nov 2010, 22:11
Soient )
et 
premier.
Montrer que \equiv \mathrm{tr}(A) (p))
J'ai une méthode un peu "bourrin", j'suis curieux de savoir s'il existe plus simple.
Montrer que
J'ai une méthode un peu "bourrin", j'suis curieux de savoir s'il existe plus simple.
par Ben314 » 02 Nov 2010, 00:02
(Re-Re ?) Salut
Je sais pas si c'est ça ta méthode bourinne, mais je partirais bien de :
:=\det(A-\lambda I_n)=\sum_{k=0}^na_k\lambda^k)
avec =(-1)^{n-1}a_{n-1})
:=\det(A^p-\lambda I_n)=\sum_{k=0}^nb_k\lambda^k)
avec =(-1)^{n-1}b_{n-1})
puis
<br />=\det(A^p-\lambda^p I_n)<br />=\det\left(\prod_{i=0}^{p-1}(A-\omega^k\lambda I_n)\right)<br />=\prod_{i=0}^{p-1}P(\omega^k\lambda))
avec 
racine primitive 
-ième de l'unité dans 
.
Donci_{p-1}})
où la somme est étendu sur tout les 
tels que )
.
Ensuite, en bourinnant bien (en particulier en utilisant astucieusement les permutations de
), j'ai l'impression qu'on s'en sort (et je sais pas si on peut faire plus bourrin que ça !!! :marteau: )
Je sais pas si c'est ça ta méthode bourinne, mais je partirais bien de :
puis
Donc
Ensuite, en bourinnant bien (en particulier en utilisant astucieusement les permutations de
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Nightmare » 02 Nov 2010, 00:10
Hello :
Ce n'est surement pas le plus simple mais :
On réduit la matrice modulo p, il s'agit alors de montrer que=\(tr(\bar{A})\)^{p})
On plonge Z/pZ dans un corps de décomposition du polynôme caractéristique de
(c'est encore un corps de caractéristique p). Sur ce corps, est trigonalisable et semblable à une matrice triangulaire avec des xi sur la diagonale, 
a les xi^p, et puis binôme de Newton : =\Bigsum_{i=1}^{n} x_{i}^{p}=\(\Bigsum_{i=1}^{n} x_{i}\)^{p}=\(tr(\bar{A}))^{p})
:happy3:
Ce n'est surement pas le plus simple mais :
On réduit la matrice modulo p, il s'agit alors de montrer que
On plonge Z/pZ dans un corps de décomposition du polynôme caractéristique de
:happy3:
par Matt_01 » 02 Nov 2010, 00:24
Je sais pas si c'est plus bourrin ou pas, mais j'utilise l'écriture de )
sans artifice pour m'en sortir :
En notant_{1\leq i,j \leq n})
, j'obtiens =\sum_{i=1}^n \sum_{k_1=1}^n \sum_{k_2=1}^n ... \sum_{k_{p-1}=1}^n a_{i,k_1}a_{k_1,k_2}...a_{k_{p-1},i})
, puis je raisonne sur le cardinal des ensembles  | { (i,k_1) ; ... ; (k_{p-1},i)} = E \})
pour E parcourant l'ensemble des parties de ^p)
J'ai conscience que tout cela n'est pas très clair ...
Comment comptes tu t'en sortir Ben sinon ? J'ai l'impression qu'au final ça va peut-être reprendre la même idée pour la mise en "paquets".
Edit : Arf nightmare, ca utilise des notions que je ne connais pas, la théorie est elle rapidement abordable ou c'est vraiment profond ?
En notant
J'ai conscience que tout cela n'est pas très clair ...
Comment comptes tu t'en sortir Ben sinon ? J'ai l'impression qu'au final ça va peut-être reprendre la même idée pour la mise en "paquets".
Edit : Arf nightmare, ca utilise des notions que je ne connais pas, la théorie est elle rapidement abordable ou c'est vraiment profond ?
par Nightmare » 02 Nov 2010, 00:33
Je suppose que tu fais référence au corps de décomposition. Très rapidement, étant donné un polynôme P sur un corps k, un corps de décomposition K de P sur k est un corps sur lequel le polynôme P est scindé, autrement dit c'est un corps contenant les racines de P. Ce n'est pas très difficile de prouver que ça existe, il faut voir pour commencer qu'en fait un tel corps est isomorphe à k[x]/(P) (qui lui est un corps abstrait bien défini) et qu'une racine du polynôme correspond en fait à la classe de X. Tu peux retrouver tout ça dans n'importe quel cours sur les extensions de corps.
Edit : Quand je parle de k[X]/(P), c'est valable pour P irréductible (sinon ce n'est pas un corps...), mais tu conviendras qu'on peut effectivement ce restreindre à ce cas là, puisque si on sait trouver les racines d'un polynôme irréductible, a fortiori on sait trouver les racines de n'importe quel polynôme
Edit : Quand je parle de k[X]/(P), c'est valable pour P irréductible (sinon ce n'est pas un corps...), mais tu conviendras qu'on peut effectivement ce restreindre à ce cas là, puisque si on sait trouver les racines d'un polynôme irréductible, a fortiori on sait trouver les racines de n'importe quel polynôme
par Ben314 » 02 Nov 2010, 01:48
Ben, sans trop regarder, j'avais l'impression que la plupart des "paquets" obtenus par permutations allait naturellement se "tuer", mais en regardant de plus prés, ça a pas l'air évident...Matt_01 a écrit:Comment comptes tu t'en sortir Ben sinon ? J'ai l'impression qu'au final ça va peut-être reprendre la même idée pour la mise en "paquets".
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Matt_01 » 02 Nov 2010, 02:15
Ok, merci nightmare, j'essayerai d'approfondir cela 
Pour ma part après j'ai procédé comme cela :
Pour
partie de on note  | { (i,k_1) ; ... ; (k_{p-1},i)} = E \})
Alors clairement
Et pour \in \bar E)
, on définit 
(cette notation est tolérable car cette représentation ne dépendant pas du x choisi)
On a alors :
= \sum_{E \in P(([|1;n|]^2)^p)} Card \bar E \tilde E)
En passant modulo p, on obtient ce qu'on veut (en utilisant le théorème de Fermat).
Pour ma part après j'ai procédé comme cela :
Pour
Alors clairement
Et pour
On a alors :
par benekire2 » 02 Nov 2010, 11:29
Ha , et mois qui cherchait un truc tout con-con :marteau: Au moins j'avais de l'espoir !
par Doraki » 02 Nov 2010, 12:13
j'crois qu'on peut faire un peu plus simple pour montrer que tout s'annule.
On regarde l'action de l'application (u1,u2...up) -> (u2,u3...up,u1).
Ca donne une décomposition de la grosse somme en points fixes et en p-cycles.
Les p-uplets constants sont les points fixe, donc ça donne (tr A)^p.
Tous les autres sont dans un p-cycle donc leur contribution s'annule.
On regarde l'action de l'application (u1,u2...up) -> (u2,u3...up,u1).
Ca donne une décomposition de la grosse somme en points fixes et en p-cycles.
Les p-uplets constants sont les points fixe, donc ça donne (tr A)^p.
Tous les autres sont dans un p-cycle donc leur contribution s'annule.
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