Défi 5: surjectivité de polynomes sur les matrices

[ffback]

Considérons le polynome ou est un entier. L'application



est elle surjective? (à discuter en fonction de et )

[FLBP]

Salut,

Pour les pairs, c'est sûr que oui car :



Et pour les impairs, aussi :

[aviateur]

Bonjour
Je n'ai pas tout fait en détail donc ma réponse est sous réserve:
si la réponse est oui.
si la réponse est non.
L'idée est la suivante: avec l'aide des réduites de Jordan
on peut montrer que la surjectivité est équivalente à l'existence de
d'une solution de
où N est une matrice contenant des 1 juste au dessus de la diagonale et des zéros ailleurs (i.e on a et )
Si tout le travail consiste à montrer qu'il y a une solution.

Si on montre que l'ont peut trouver avec un tel que cette équation n'a pas de solution.

[aviateur]

Salut,
Pour les pairs, c'est sûr que oui car :

Il faudra expliquer ton raisonnement car avec

je ne vois pas de solution à

[ffback]

FLBP: confondrais tu par hasard "surjectif" avec "non injectif"?

Aviateur: D'accord avec la réduction de Jordan (faut juste bien sûr pas oublier que la dimension diminue du coup). Je suis par contre apriori un sceptique vis a vis de la conclusion, donc j'attend les détails.

[aviateur]

Bonjour,
En gros pour les détails voici. Soit A=\lambda I_p + N un bloc de Jordan de taille de la forme
ssi sinon

Il faut savoir résoudre (dans les matrices de tailles p) :

Il est logique de chercher X sous la forme avec nilpotente, mieux que ça triangulaire sup ou encore mieux

On a alors un système d'équation :

La deuxième équation admet comme premier terme
Si la résolution est possible pour et ainsi de suite.
Bien sûr il faut voir cela de près.
Si j'ai donné un exemple dans le post précédent.

[ffback]

Hum, ya eu des modifications entre temps non? Mon sceptiscisme concernait la version précédente avec la dichotomie k>n et k<n. Faudra effectivement voir les détails mais la nouvelle version me semble plus raisonnable

[aviateur]

Rebonjour
La seule chose à faire est de vérifier que l'on peut trouver comme je l'ai dit. Ce n'est pas très compliqué à écrire les équations mais j'ai un peu la flemme d'écrire les équations...

[ffback]

Entendu, j'accepte de te croire.

Plus généralement, on peut se demander la CNS sur pour que l'application soit surjective sur .

(Ceci est essentiellement un exercice que j'ai proposé cette année pour poser aux oraux ENS, avec questions intermédiaires)

[aviateur]

Bonjour
Si on veut généraliser il faut donc que pour tout , il existe au moins une solution
de l'équation vérifiant

autrement dit si p est de degré k, soit les racines de p' et posons
La condition devient chaque équation admet au moins une racine simple.
Cette condition est suffisante et à mon avis cela doit être facile de vérifier qu'elle est nécessaire.

On peut vérifier que tout polynôme de degré 2 est à exclure. De même tout polynôme de degré 4 et pair.

[Viko]

@ffback serait-ce possible d'avoir la version avec question intermédiaire stp ?

[ffback]

Aviateur:

Viko: en gros ça devait donner un truc de ce gout là:

1) Soit tel que et . Montrer que pour tout entier , il existe tel que .

2) Soit l'ensemble des matrices complexes nilpotentes et soit comme dans la question 1). Montrer que pour tout , est une bijection de dans lui même.

3)Soit tel que: .
Montrer que pour tout , est une surjection de dans lui même.

Puis en application, on peut effectivement vérifier que vérifie l'hypothèse de 3) dès que .

[aviateur]

Rebonjour
J'ai tout de même une question qui m'intrigue vu qu'il s'agit d'un exercice d'oral d'Ens. Les questions intermédiaires sont elles données systématiquement au candidat ou alors elles lui sont données seulement s'il rencontre des difficultés?

[Viko]

@ffback merci !

[ffback]

Aviateur: Je ne suis pas examinateur, c'est un ami qui l'est, je l'ai seulement aidé sur la conception d'exercices. Sous réserve, je crois que sur les exercices à plusieurs questions, toutes sont posées et si le candidat bloque vraiment trop longtemps, on l'aide. Sur un oral court (45 minutes), c'est probablement plus efficace pour départager les candidats que de commencer par une colle trop difficile. (si le candidat est une brute, ça va se remarquer de toute façon)